Chapitre VII Trigonométrie

• \(\frac{2043\pi}{2\pi}\)

\(=2043\pi \times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{2043\pi}{2\pi}\)

\(=\frac{2043}{2}=1021,5\)

• \(1021 \times 2\pi \le\ 2043\pi \le 1022 \times 2\pi\)

• \(2043\pi-1021\times 2\pi\)

  \(=2043\pi-2042\pi=\pi\)

  \(\pi\) est une mesure principale de l'angle car \(\pi \in]-\pi ;\pi]\)

• \(2043\pi-1022\times 2\pi\)

• \(=2043\pi-2044\pi\)

  \(=-\pi\)

  \(-\pi\) n'est pas la mesure principale de l'angle car \(-\pi \notin]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{\frac{117\pi}{4}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{117\pi}{4}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(=\frac{117\pi}{4}\times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{117\pi}{8\pi}\)

\(=\frac{117}{8}=14,625\)

• \(14 \times 2 \pi \le\frac{117\pi}{4}\le 15 \times 2 \pi\)

• \(\frac{117\pi}{4}-14\times 2\pi\)

  \(=\frac{117\pi}{4}-28\pi\)

  \(=\frac{117\pi}{4}-\frac{112\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}>\pi\)

  \(\frac{5\pi}{4}\) n'est pas une mesure principale de l'angle car \(\frac{5\pi}{4} \notin]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{117\pi}{4}-15\times 2\pi\)

• \(=\frac{117\pi}{4}-30\pi\)

  \(=\frac{117\pi}{4}-\frac{120\pi}{4}=\frac{-3\pi}{4}\)

  \(\frac{-3\pi}{4}\) est la mesure principale de l'angle car \(\frac{-3\pi}{4} \in]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{\frac{-25\pi}{3}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{-25\pi}{3}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(=\frac{-25\pi}{3}\times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{-25\pi}{6\pi}\)

\(=\frac{-25}{6}\simeq-4,17\)

• \(-5 \times 2 \pi \le\frac{-25}{6}\le -4 \times 2 \pi\)

• \(\frac{-25\pi}{3}+4\times 2\pi\)

  \(=\frac{-25\pi}{3}+8\pi\)

  \(=\frac{-25\pi}{3}+\frac{24\pi}{3}=\frac{-\pi}{3}\)

  \(\frac{-\pi}{3}\) est la mesure principale de l'angle car \(\frac{-\pi}{3} \in]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{-25\pi}{3}+5\times 2\pi\)

  \(=\frac{-25\pi}{3}+10\pi\)

  \(=\frac{-25\pi}{3}+\frac{30\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}>\pi\)

  \(\frac{5\pi}{3}\) n'est pas une mesure principale de l'angle car \(\frac{5\pi}{3} \notin]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{\frac{2017\pi}{5}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{2017\pi}{5}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(=\frac{2017\pi}{5} \times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{2017\pi}{10\pi}\)

\(=\frac{2017}{10}=201,7\)

• \(201 \times 2 \pi \le \frac{2017\pi}{5} \le 202 \times 2 \pi\)

• \(\frac{2017\pi}{5}-201\times 2\pi\)

  \(=\frac{2017\pi}{5}-402\pi\)

  \(=\frac{2017\pi}{5}+\frac{2010\pi}{5}=\frac{7\pi}{5}\)

  \(\frac{7\pi}{5}\) n'est pas la mesure principale de l'angle car \(\frac{7\pi}{5} \notin]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{2017\pi}{5}-202\times 2\pi\)

  \(=\frac{2017\pi}{5}-404\pi\)

  \(=\frac{2017\pi}{5}-\frac{2020\pi}{5}=\frac{-3\pi}{5}\)

  \(\frac{-3\pi}{5}\) est une mesure principale de l'angle car \(\frac{-3\pi}{5} \in]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{\frac{13\pi}{6}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{13\pi}{6}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(=\frac{13\pi}{6} \times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{13\pi}{12\pi}\)

\(=\frac{13}{12}\simeq 1,083\)

• \(\times 1 \times 2 \pi \le \frac{13\pi}{6} \le 2 \times 2 \pi\)

• \(\frac{13\pi}{6}-1\times 2\pi\)

  \(=\frac{13\pi}{6}-2\pi\)

  \(=\frac{13\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)

  \(\frac{\pi}{6}\) est la mesure principale de l'angle car \(\frac{\pi}{6} \in]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{13\pi}{6}-2\times 2\pi\)

  \(=\frac{13\pi}{6}-4\pi\)

  \(=\frac{13\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=\frac{-11\pi}{6}\)

  \(\frac{-11\pi}{6}\) n'est pas la mesure principale de l'angle car \(\frac{-11\pi}{6} \notin]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{\frac{155\pi}{6}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{155\pi}{6}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(=\frac{155\pi}{6} \times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{155\pi}{12\pi}\)

\(=\frac{155}{12}\simeq 12,92\)

• \(\times 12 \times 2 \pi \le \frac{155\pi}{6} \le 13 \times 2 \pi\)

• \(\frac{155\pi}{6}-12\times 2\pi\)

  \(=\frac{155\pi}{6}-24\pi\)

  \(=\frac{155\pi}{6}-\frac{144\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\)

  \(\frac{11\pi}{6}\) n'est pas la mesure principale de l'angle car \(\frac{11\pi}{6} \notin]-\pi ;\pi]\)

• \(\frac{155\pi}{6}-13\times 2\pi\)

  \(=\frac{155\pi}{6}-26\pi\)

  \(=\frac{155\pi}{6}-\frac{156\pi}{6}=\frac{-\pi}{6}\)

  \(\frac{-\pi}{6}\) est la mesure principale de l'angle car \(\frac{-\pi}{6} \in]-\pi ;\pi]\)

\(\color{teal}{\text{1ère méthode}}\)

\(\frac{13\pi}{6}\mapsto \frac{\pi}{6}\) en mesure principale.

\(\frac{155\pi}{6} \mapsto \frac{-\pi}{6}\) en mesure principale.

Les deux réels \(\frac{13\pi}{6}\) et \(\frac{155\pi}{6}\) ne sont donc pas des mesures d'un même angle

car leurs mesures principales sont différentes.

\(\color{teal}{\text{2ème méthode}}\)

\(\frac{155\pi}{6}-\frac{13\pi}{6}\)

\(=\frac{142\pi}{6}\)

\(=\frac{71\pi}{3}\)

or \(\frac{71\pi}{3}\) n'est pas un multiple de \(2\pi\)

Les deux réels \(\frac{13\pi}{6}\) et \(\frac{155\pi}{6}\) ne sont donc pas des mesures d'un même angle.