Exercice : Mesure Principale 2

Donner la mesure principale associée à chacune des mesures suivantes :

Question

\(a=\frac{49π}{6}\) ;

Solution

  • \(\frac{\frac{49π}{6}}{2\pi}\)

\(=\frac{49π}{6} \times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{49}{12}\simeq4,08\)

  • \(4 \le \frac{49π}{6}\le 5\)

  • \(\frac{49π}{6}-5\times 2\pi\)

    \(=\frac{49π}{6}-10\pi\)

    \(=\frac{49π}{6}-\frac{60π}{6}\)

    \(=\frac{-11π}{6}\)

    \(\frac{-11π}{6}\) n'est pas une mesure principale de l'angle car \(\frac{-11π}{6} \notin]-\pi ;\pi]\)

  • \(\frac{49π}{6}-4\times 2\pi\)

    \(=\frac{49π}{6}-8\pi\)

    \(=\frac{49π}{6}-\frac{48π}{6}\)

    \(=\frac{π}{6}\)

    \(\frac{π}{6}\) est la mesure principale de l'angle car \(\frac{π}{6} \in]-\pi ;\pi]\)

Question

b=\(\frac{-81π}{4}\) ;

Solution

  • \(\frac{\frac{-81π}{4}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{-81π}{4}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{-81π}{4}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(=\frac{-81π}{4} \times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{-81}{8}\)

\(=\frac{-81}{8}=-10,125\)

  • \(-11 \times 2 \pi \le \frac{-81π}{4} \le -10 \times 2 \pi\)

  • \(\frac{-81π}{4}+11\times 2\pi\)

    \(=\frac{-81π}{4}+22\pi\)

    \(=\frac{-81π}{4}+\frac{88π}{4}\)

    \(=\frac{7π}{4}\)

  • \(\frac{7\pi}{4}\) n'est pas une mesure principale de l'angle car \(\frac{7\pi}{4} \notin]-\pi ;\pi]\)

  • \(\frac{-81π}{4}+10\times 2\pi\)

    \(=\frac{-81π}{4}+20\pi\)

    \(=\frac{-81π}{4}+\frac{80π}{4}\)

    \(=\frac{-π}{4}\)

    \(\frac{-\pi}{4}\) est la mesure principale de l'angle car \(\frac{-\pi}{4} \in]-\pi ;\pi]\)

Question

c=-655π ;

Solution

  • \(\frac{-655π}{2\pi}\)

\(=-655π \times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{-655}{2}\simeq-327,5\)

\(- 328 \times 2 \pi \le -655π \le - 327 \times 2 \pi\)

  • \(-655π+327\times 2\pi\)

    \(=-655\pi+654\pi=-\pi\)

    \(-π\) n'est pas la mesure principale de l'angle car \(-π \notin]-\pi ;\pi]\pi\)

  • \(-655 \pi+328\times 2\pi\)

    \(=-655\pi+656\pi=\pi\)

    \(π\) est la mesure principale de l'angle car \(π \in]-\pi ;\pi]\)

Question

d=\(\frac{481π}{5}\)

Solution

  • \(\frac{\frac{481π}{5}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{481π}{5}}{2\pi}\)

\(=\frac{\frac{481π}{5}}{\frac{2\pi}{1}}\)

\(=\frac{481π}{5}\times \frac{1}{2\pi}\)

\(=\frac{481π}{10\pi}\)

\(=\frac{481}{10}=48,1\)

  • \(48 \times 2 \pi \le \frac{2017\pi}{5} \le 49 \times 2 \pi\)

  • \(\frac{481π}{5}-49 \times 2\pi\)

    \(=\frac{481π}{5}-98\pi\)

    \(=\frac{481π}{5}-\frac{490π}{5}=\frac{-9\pi}{5}\)

    \(\frac{-9\pi}{5}\) n'est pas la mesure principale de l'angle car \(\frac{-9\pi}{5} \notin]-\pi ;\pi]\)

  • \(\frac{481π}{5}-48 \times 2\pi\)

    \(=\frac{481π}{5}-96\pi\)

    \(=\frac{481π}{5}-\frac{480π}{5}=\frac{\pi}{5}\)

    \(\frac{\pi}{5}\) est  la mesure principale de l'angle car \(\frac{\pi}{5} \in]-\pi ;\pi]\)