Chapitre VII Trigonométrie

\(cos(2x)=cos(\frac{8\pi}{2})=cos(4\pi)=cos(0)\)

Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont :

\(x_1=0+2k\pi k\in\mathbb{Z}\)

Les solutions dans \([\pi ;5\pi]\) sont :

\(2\pi ;4\pi\)

\(sin(x-\frac{2\pi}{3})=sin(\frac{\pi}{5})\)

\(\begin{cases} x-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{5}+2k\pi\\x-\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{5}+2k\pi \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{5}+2k\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+\pi-\frac{\pi}{5}+2k\pi \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{10\pi}{15}+\frac{3\pi}{15}+2k\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+\frac{5\pi}{5}-\frac{\pi}{5}+2k\pi \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}+2k\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{5}+2k\pi \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}+2k\pi\\x=\frac{10\pi}{15}+\frac{12\pi}{15}+2k\pi \end{cases}\)

Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont :

\(\begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}+2k\pi\\x=\frac{22\pi}{15}+2k\pi \end{cases}\)

• Pour k=0 :

\(\begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}\\x=\frac{22\pi}{15} \end{cases}\)

\([-2\pi ;2\pi]=[-\frac{30\pi}{15} ;\frac{30\pi}{15}]\)

Donc ces deux solutions appartiennent à \([-2\pi ;2\pi]\)

• Pour k=1 :

\(\begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}+2\pi\\x=\frac{22\pi}{15}+2\pi \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}+\frac{30\pi}{15}\\x=\frac{22\pi}{15}+\frac{30\pi}{15} \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{43\pi}{15}\\x=\frac{52\pi}{15} \end{cases}\)

\([-2\pi ;2\pi]=[-\frac{30\pi}{15} ;\frac{30\pi}{15}]\)

Donc ces deux solutions n'appartiennent pas à \([-2\pi ;2\pi]\)

Inutile de prendre des valeurs de k supérieures.

• Pour k=-1 :

\(\begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}-2\pi\\x=\frac{22\pi}{15}-2\pi \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}-\frac{30\pi}{15}\\x=\frac{22\pi}{15}-\frac{30\pi}{15} \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{-17\pi}{15}\\x=\frac{-8\pi}{15} \end{cases}\)

Donc ces deux solutions appartiennent à \([-2\pi ;2\pi]\)

• Pour k=-2 :

\(\begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}-4\pi\\x=\frac{22\pi}{15}-4\pi \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{13\pi}{15}-\frac{60\pi}{15}\\x=\frac{22\pi}{15}-\frac{60\pi}{15} \end{cases}\)

\(\iff \begin{cases} x=\frac{-47\pi}{15}\\x=\frac{-38\pi}{15} \end{cases}\)

\([-2\pi ;2\pi]=[-\frac{30\pi}{15} ;\frac{30\pi}{15}]\)

Donc ces deux solutions appartiennent à \([-2\pi ;2\pi]\)

Inutile de prendre des valeurs de k plus petites.

Les solutions dans \([-2\pi ;2\pi]\) sont :

\(\begin{cases}x=\frac{-17\pi}{15}\\x=\frac{-8\pi}{15} \\x=\frac{13\pi}{15}\\x=\frac{22\pi}{15}\end{cases}\)

\(cos(3x)=-cos(x)=cos(\pi-x)\)

\(\begin{cases}3x=\pi-x+2k\pi\\3x=-(\pi-x)+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\iff \begin{cases}3x=\pi-x+2k\pi\\3x=-(\pi-x)+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\iff \begin{cases}4x=\pi+2k\pi\\3x=-\pi+x+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\iff \begin{cases}4x=\pi+2k\pi\\2x=-\pi+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}\\x=\frac{-\pi}{2}+k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)

Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont :

\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\x=\frac{-\pi}{2}+k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)

Les solutions dans \([-2\pi ;\pi]\) sont :

• Pour k=0

  \(\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}\\x=\frac{-\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)

• Pour k=1

  \(\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\\x=\frac{-\pi}{2}+\pi\end{cases}\)

  \(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{4}\\x=\frac{-\pi}{2}+\frac{2\pi}{2}\end{cases}\)

  \(\iff \begin{cases}x=\frac{3\pi}{4}\\x=\frac{\pi}{2}\end{cases}\)

• Pour k=2

  \(\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{2}\\x=\frac{-\pi}{2}+2\pi\end{cases}\)

  \(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{4}\\x=\frac{-\pi}{2}+\frac{4\pi}{2}\end{cases}\)

  \(\iff \begin{cases}x=\frac{5\pi}{4}\\x=\frac{3\pi}{2}\end{cases}\)

  Les deux solutions n’appartiennent pas \([-2\pi ;\pi]\) donc inutile de prendre des valeurs de k supérieures.

• Pour k=-1 :

  \(\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\\x=\frac{-\pi}{2}-\pi\end{cases}\)

  \(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{4}-\frac{2\pi}{4}\\x=\frac{-\pi}{2}-\frac{2\pi}{2}\end{cases}\)

  \(\iff \begin{cases}x=\frac{-\pi}{4}\\x=\frac{-3\pi}{2}\end{cases}\)

• Pour k=-2 :

  \(\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}-\frac{2\pi}{2}\\x=\frac{-\pi}{2}-2\pi\end{cases}\)

  \(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{4}-\frac{4\pi}{4}\\x=\frac{-\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}\end{cases}\)

  \(\iff \begin{cases}x=\frac{-3\pi}{4}\\x=\frac{-5\pi}{2}\end{cases}\)

  Seule le première valeur appartient à \([-2\pi ;\pi]\)

  Inutile de prendre des valeurs de k inférieures pour cette seconde valeur.

• Pour k=-3 :

  \(x=\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}\)

  \(\iff x=\frac{\pi}{4}-\frac{6\pi}{4}\)

  \(\iff x=\frac{-5\pi}{4}\)

• Pour k=-4 :

  \(x=\frac{\pi}{4}-\frac{4\pi}{2}\)

  \(\iff x=\frac{\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}\)

  \(\iff x=\frac{-7\pi}{4}\)

  Les deux solutions n’appartiennent pas \([-2\pi ;\pi]\) donc inutile de prendre des valeurs de k supérieures.

Les solutions dans \([-2\pi ;\pi]\) sont :

\(\begin{cases}x=\frac{-7\pi}{4}\\x=\frac{-3\pi}{2}\\x=\frac{-5\pi}{4}\\x=\frac{-3\pi}{4}\\x=\frac{-\pi}{4}\\x=\frac{-\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{4}\\\\x=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{3\pi}{4}\end{cases}\)

\(sin(2x+\frac{\pi}{4})=-sin(x)=sin(-x)\)

\(\iff sin(2x+\frac{\pi}{4})=sin(-x)\)

\(\iff \begin{cases}2x+\frac{\pi}{4}=-x+2k\pi\\2x+\frac{\pi}{4}=\pi-(-x)+2k\pi\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}2x+x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\2x+\frac{\pi}{4}=\pi+x+2k\pi\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}3x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\2x-x=-\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\\x=-\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{4}+2k\pi\end{cases}\)

\(Les solutions dans \mathbb{R} sont :\)

\(\iff \begin{cases}x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\\x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\end{cases}\) k\(\in\mathbb{Z}\)

Les solutions dans \([4\pi ;6\pi]\) sont :

\(4\pi\le -\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3} \le 6\pi\)

\(\iff 4\pi+\frac{\pi}{12}\le +\frac{2k\pi}{3} \le 6\pi+\frac{\pi}{12}\)

\(\iff \frac{48\pi}{12}+\frac{\pi}{12}\le \frac{2k\pi}{3} \le \frac{72\pi}{12}+\frac{\pi}{12}\)

\(\iff \frac{49\pi}{12}\le \frac{2k\pi}{3} \le \frac{73\pi}{12}\)

\(\iff \frac{147}{12}\le 2k \le \frac{219}{12}\)

\(\iff \frac{147}{24}\le k \le \frac{219}{24}\)

\(\iff 7\le k \le 9\)

\(4\pi\le \frac{3\pi}{4}+2k\pi \le 6\pi\)

\(\iff 4\pi-\frac{3\pi}{4}\le 2k\pi \le 6\pi-\frac{3\pi}{4}\)

\(\iff \frac{16\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\le 2k\pi \le \frac{24\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\)

\(\iff \frac{13\pi}{4}\le 2k\pi \le \frac{21\pi}{4}\)

\(\iff \frac{13}{8}\le k \le \frac{21}{8}\)

\(\iff 2\le k \le 2\)

\(\iff k =2\)

Les solutions dans \([4\pi ;6\pi]\) sont :

• Pour k=2

  \(x=\frac{3\pi}{4}+2 \times 2\pi\)

  \(\iff x=\frac{3\pi}{4}+4\pi\)

  \(\iff x=\frac{3\pi}{4}+\frac{16\pi}{4}\)

  \(\iff x=\frac{19\pi}{4}\)

• Pour k=7

  \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{7 \times 2\pi}{3}\)

  \(\iff x=-\frac{\pi}{12}+\frac{14\pi}{3}\)

  \(\iff x=-\frac{\pi}{12}+\frac{56\pi}{12}\)

  \(\iff x=\frac{55\pi}{12}\)

• Pour k=8

  \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{8 \times 2\pi}{3}\)

  \(\iff x=-\frac{\pi}{12}+\frac{16\pi}{3}\)

  \(\iff x=-\frac{\pi}{12}+\frac{64\pi}{12}\)

  \(\iff x=\frac{63\pi}{12}\)

• Pour k=8

  \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{9 \times 2\pi}{3}\)

  \(\iff x=-\frac{\pi}{12}+\frac{18\pi}{3}\)

  \(\iff x=-\frac{\pi}{12}+\frac{72\pi}{12}\)

  \(\iff x=\frac{71\pi}{12}\)

\(sin(3x)=cos(2x)\) dans \(\mathbb{R}\)

\(sin(3x)=sin(\frac{\pi}{2}-2x)\)

\(\iff sin(3x)=sin(\frac{\pi}{2}-2x)\)

\(\iff \begin{cases}3x=\frac{\pi}{2}-2x+2k\pi\\3x=\pi-(\frac{\pi}{2}-2x)+2k\pi\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}3x=\frac{\pi}{2}-2x+2k\pi\\3x=\pi-\frac{\pi}{2}+2x+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\matbb{Z}\)

\(\iff \begin{cases}3x+2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\3x-2x=\pi-\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\matbb{Z}\)

\(\iff \begin{cases}5x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\matbb{Z}\)

\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{10}\\x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\matbb{Z}\)

Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont :

\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{10}\\x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\matbb{Z}\)

Les solutions dans \(]-\pi ;\pi]\)

• Pour k=0 :

\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{10}\\x=\frac{\pi}{2}\end{cases}\)

• Pour k=1 :

\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{10}\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}x=\frac{3\pi}{10}\\x=\frac{5\pi}{2}\end{cases}\)

La deuxième valeur n'appartient pas à \(]-\pi ;\pi]\)

Inutile de prendre des valeurs de k plus grande pour la seconde valeur.

• Pour k=2 :

\(x=\frac{\pi}{10}+\frac{2 \times 2\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{10}+\frac{4\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2}\)

• Pour k=3 :

\(x=\frac{\pi}{10}+\frac{2 \times 3\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{10}+\frac{6\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{7\pi}{10}\)

• • Pour k=4 :

  \(x=\frac{\pi}{10}+\frac{2 \times 4\pi}{10}\)

  \(\iff x=\frac{\pi}{10}+\frac{8\pi}{10}\)

  \(\iff x=\frac{9\pi}{10}\)

• Pour k=5 :

\(x=\frac{\pi}{10}+\frac{2 \times 5\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{10}+\frac{10\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{11\pi}{10}\)

Cette valeur n'appartient pas à \(]-\pi ;\pi]\)

Inutile de prendre des valeurs de k supérieures pour cette solution.

• Pour k=-1 :

\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{10}-\frac{2\pi}{10}\\x=\frac{\pi}{2}-2\pi\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}x=\frac{-\pi}{10}\\x=\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}\end{cases}\)

\(\iff \begin{cases}x=\frac{-\pi}{10}\\x=-\frac{3\pi}{2}\end{cases}\)

La deuxième valeur n'appartient pas à \(]-\pi ;\pi]\)

Inutile de prendre des valeurs de k plus petite pour la seconde valeur.

• Pour k=-2 :

\(x=\frac{\pi}{10}-\frac{2 \times 2\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{10}-\frac{4\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{-3\pi}{10}\)

• Pour k=-3 :

\(x=\frac{\pi}{10}-\frac{2 \times 3\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{10}-\frac{6\pi}{10}\)

\(\iff x=-\frac{5\pi}{10}=-\frac{\pi}{2}\)

• Pour k=-4 :

  \(x=\frac{\pi}{10}-\frac{2 \times 4\pi}{10}\)

  \(\iff x=\frac{\pi}{10}-\frac{8\pi}{10}\)

  \(\iff x=\frac{-7\pi}{10}\)

• Pour k=-5 :

\(x=\frac{\pi}{10}-\frac{2 \times 5\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{10}-\frac{10\pi}{10}\)

\(\iff x=-\frac{9\pi}{10}\)

• Pour k=-6 :

\(x=\frac{\pi}{10}-\frac{2 \times 6\pi}{10}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{10}-\frac{12\pi}{10}\)

\(\iff x=-\frac{11\pi}{10}\)

Cette valeur n'appartient pas à \(]-\pi ;\pi]\)

Inutile de prendre des valeurs de k inférieures.

Les solutions dans \(]-\pi ;\pi]\)

\(\begin{cases}x=-\frac{9\pi}{10}\\x=\frac{-7\pi}{10}\\x=-\frac{\pi}{2}\\x=\frac{-3\pi}{10}\\x=\frac{-\pi}{10}\\x=\frac{\pi}{10}\\x=\frac{3\pi}{10}\\x=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{7\pi}{10}\\x=\frac{9\pi}{10}\end{cases}\)