Exercice : Exemple 2

Un jeu consiste à secouer et renverser une bouteille afin d'en sortir un de ses éléments.

Voici le contenu de cette bouteille :

1.Déterminer la probabilité des évènements suivants :

Question

a. A : “L'élément sorti est un carré” ;

Solution

p(A)=\(\frac{3}{13}\) : “L'élément sorti est un carré” ;

Question

b. B : “L'élément sorti est rayé” ;

Solution

\(p(B)= \frac{6}{13}\) : “L'élément sorti est rayé” ;

Question

c. \(A \cap B\) : “L'élément sorti est un carré rayé”.

Solution

\(p(A \cap B)=\frac{2}{13}\) : “L'élément sorti est un carré rayé”.

Question

2. a. Sachant qu'un carré est sorti, quelle est la probabilité pour qu'il soit rayé ? On note cette probabilité \(P_A(B)\)

Solution

Sachant qu'un carré est sorti, quelle est la probabilité pour qu'il soit rayé : \(P_A(B)=\frac{2}{3}\)

Question

b. Vérifier l'égalité suivante : \(P_A(B) =\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

Solution

\(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{13}}{\frac{3}{13}}=\frac{2}{13}\times \frac{13}{3}=\frac{2}{3}\)

donc \(\color{red}{P_A(B) =\frac{P(A \cap B)}{P(A)}}\)

Question

3. a. Sachant que l'élément sorti est rayé, quelle est la probabilité pour que ce soit un carré ?

On note cette probabilité \(P_B(A)\)

Solution

Sachant que l'élément sorti est rayé, la probabilité pour que ce soit un carré est : \(P_B(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Question

b. Vérifier l'égalité suivante : \(P_B(A) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Solution

\(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{13}}{\frac{6}{13}}=\frac{2}{13}\times \frac{16}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

donc \(\color{red}{P_B(A) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)