Exercice : Exemple 14

On choisit au hasard une carte dans un jeu de trente deux cartes.

On note T l'évènement "c'est un trèfle", et D l'évènement "c'est une dame".

1. Déterminer les probabilités suivantes :

Question

a.\(p(T)\).

Solution

\(p(T) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\) (il y a huit trèfles dans le jeu).

Question

b.\(p(D)\)

Solution

\(p(D) = \frac{4}{32} =\frac{1}{8}\) (il y a quatre dames dans le jeu).

Question

2.Déterminer \(p(T \cap D)\)

Solution

\(p(T \cap D) = \frac{1}{32}\) (il y a une dame de trèfle dans le jeu).

Question

3. Les évènements T et D sont ils indépendants ?

Solution

On a donc \(p(T) \times p(D) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{32} = p(T \cap D).\)

Donc les événements D et T sont indépendants.

Intuitivement on comprend aisément que si on tire une carte dans le jeu, la chance d'obtenir une dame sachant qu'on a tiré un trèfle est la même que celle d'obtenir une dame sans rien savoir sur la carte tirée.

Question

4.On considère un jeu de 32 cartes.

Soit l'évènement F : "la carte tirée est une figure", montrer que les évènements F et D ne sont pas indépendants.

Solution

\(p(F \cap D) = p(\textbf{"choisir une dame et une figure"})=p(\textbf{"choisir une dame"}) = \frac{4}{32}=\frac{1}{8}\) ;

par contre, \(p(D) \times p(F) = \frac{1}{8} \times \frac{12}{32} = \frac{3}{64}\)

donc les deux événements ne sont pas indépendants.