Exercice : Exemple 20

Un chocolatier respecte les règles suivantes pour sa production

quotidienne :

- un quart des chocolats produits sont aux amandes

- 15% des chocolats produits sont aux amandes avec un

cœur au chocolat blanc

- 40% des chocolats qui ne sont pas aux amandes ont un cœur au chocolat blanc

Un jour donné, le chocolatier a produit 300 chocolats et il en choisit un au hasard dans la production. On note les événements :

A : « le chocolat est aux amandes » et C : « le chocolat a un cœur chocolat blanc ».

Question

1. Représenter la situation par un tableau croisé d'effectifs.

Solution

A (amandes)

\(\overline{A}\)

Total

C

(coeur chocolat)

45

90

135

\(\overline{C}\)

30

135

165

Total

75

225

300

  • Aux amandes :

    \(\frac{1}{4} \times 300=75\)

  • 15% des chocolats produits sont aux amandes avec un

    cœur au chocolat blanc :

    \(\frac{15}{100} \times 300=45\)

  • 40% des chocolats qui ne sont pas aux amandes ont un cœur au chocolat blanc :

    \(\frac{40}{100} \times 225=90\)

Question

2. Si le chocolat choisi est aux amandes, quelle est la probabilité que le cœur soit au chocolat blanc ?

Solution

Si le chocolat choisi est aux amandes, la probabilité que le cœur soit au chocolat blanc est :

  • Par lecture directe dans le tableau \(p_A(C)=\frac{45}{75}=\frac{3}{5}\)

  • Par le calcul :

    \(p_A(C)=\frac{p(C \cap A)}{p(A)}=\frac{\frac{45}{300}}{\frac{75}{300}}\)

    \(\iff p_A(C)=\frac{45}{300} \times \frac{300}{75}\)

    \(\iff p_A(C)=\frac{45}{75}\)

    \(\iff p_A(C)=\frac{15}{25}\)

    \(\iff p_A(C)=\frac{3}{5}\)