Exercice : Exemple 17
Soient A, B et C trois événements d'un même univers Ω muni d'une probabilité P.
On sait que :
A et B sont indépendants ;
\(P(A) =\frac{2}{5}\)
\(P(A \cup B) =\frac{3}{4}\)
\(P(C) =\frac{1}{2}\)
\(P(A \cap C) =\frac{1}{10}\)
Sans justification, indiquer si chacune des propositions suivantes
est vraie ou fausse :
Question
a. Proposition 1 : \(P(B) =\frac{7}{12}\)
Solution
A et B sont indépendants donc
\(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)\) or \(P(A) =\frac{2}{5}\)
donc \(P(A \cap B)=\frac{2}{5} \times P(B)\)
\(P(A \cup B) =P(A) +P(B) -P(A \cap B)=\frac{2}{5} + P(B) -\frac{2}{5} \times P(B)=\frac{3}{4}\)
\(\frac{2}{5} + P(B) -\frac{2}{5} \times P(B)=\frac{3}{4}\)
\(\frac{2}{5} + \frac{3}{5} \times P(B)=\frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{5} \times P(B)=\frac{3}{4} - \frac{2}{5}\)
\(\frac{3}{5} \times P(B)=\frac{15}{20} - \frac{8}{20}\)
\(\frac{3}{5} \times P(B)=\frac{7}{20}\)
\(P(B)=\frac{\frac{7}{20}}{\frac{3}{5}}\)
\(P(B)=\frac{7}{20} \times \frac{5}{3}=\frac{7}{12}\)
\(\color{magenta}{\textbf{ La propriété 1 est juste}}\)
Question
b.Proposition 2 : \(P(\overline{A \cup C})=\frac{2}{5}\)
Solution
\(\color{magenta}{\textbf{Proposition 2 : }}\)
\(P(\overline{A \cup C})=1-P(A \cup C)\)
\(P(A \cup C)=P(A)+P(C)-P(A \cap C)\)
\(P(A \cup C)=\frac{2}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}\)
\(P(A \cup C)=\frac{4}{10}+\frac{5}{10}-\frac{1}{10}\)
\(P(A \cup C)=\frac{8}{10}\)
\(P(A \cup C)=\frac{4}{5}\)
\(P(\overline{A \cup C})=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\color{magenta}{\textbf{ La propriété 2 est fausse}}\)