Exercice : Exemple 4

Dans une classe où les élèves étudient une seule langue vivante étrangère, certains étudient l'anglais, d'autres l'espagnol et le reste l'italien.

Question

1. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité pour que l'élève choisi étudie l'espagnol ?

On note E l'événement "L'élève choisi étudie l'espagnol"

Solution

Probabilité pour que l'élève choisi étudie l'espagnol : \(p(E)=\frac{11}{36}\)

Question

2. On choisit une fille au hasard. Quelle est la probabilité pour que la fille choisie étudie l'espagnol ?

On note \(p_F(E)\) cette probabilité

Solution

Probabilité pour que la fille choisie étudie l'espagnol \(p_F(E)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\)

Question

3. On choisit au hasard un élève qui étudie l'espagnol. Quelle est la probabilité pour que l'élève choisi soit une fille ?

On note \(p_E(F) \)cette probabilité

Solution

On choisit au hasard un élève qui étudie l'espagnol.

Probabilité pour que l'élève choisi soit une fille : \(p_E(F)=\frac{5}{11}\)

Question

4. On choisit un élève au hasard et on définit les événements suivants :

A : " l'élève choisi étudie l'anglais " et G : " l'élève choisi est un garçon ".

Définir l'événement A ∩ G à l'aide d'une phrase, puis calculer P(A), P(G) et P(A ∩ G).

Solution

L'événement A ∩ G est l’événement "l'élève est un garçon et il étudie l'anglais"

\(P(A)=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}\)

\(P(G)=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)

\(P(A ∩ G)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\)

Question

5. On choisit un garçon au hasard. Calculer la probabilité de l'événement " le garçon choisi étudie l'anglais ".

On note \(p_G(A) \)cette probabilité

Montrer que

\(\color{red}{p_G(A)= \frac{p(A \cap G)}{p(G)}}\)

Solution

Probabilité de l'événement " le garçon choisi étudie l'anglais " \(p_G(A))=\frac{9}{16}\)

\(\frac{p(A \cap G)}{p(G)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{9}}=\frac{1}{4}\times \frac{9}{4}=\frac{9}{16}\)

donc \(\color{red}{p_G(A)= \frac{p(A \cap G)}{p(G)}}\)