II. Espérance d'une variable aléatoire
Définition :
\(\color{red}{\textbf{Soit une variable aléatoire X définie sur un ensemble Ω et prenant les valeurs x_1,x_2,...,x_n.}}\)
\(\color{red}{\textbf{La loi de probabilité de X associe à toute valeur } x_i \textbf{ la probabilité } pi = p(X = x_i)}.\)
\(\color{red}{\textbf{L'espérance mathématique de la loi de probabilité de X est :}}\)
\(\color{red}{E(X) = p(X=x_1)×x_1 + p(X=x_2) ×x_2 + ... + p(X=x_n) ×x_n=\sum_{i=1}^n p_i \times x_i}\)
Remarque :
La notion d'espérance est popularisé par Christiaan Huygens dans son
Traité du hasard de 1656 sous le nom de « valeur de la chance ».
Christiaan Huygens ((14 avril 1629- 8 juillet 1695) La Haye) est un mathématicien, un astronome et un physicien néerlandais.
Remarque :
\(\color{red}{\textbf{L'espérance d'une variable aléatoire est la moyenne théorique }}\) que l'on peut espérer si l'on \(\color{red}{\textbf{répète l'expérience un grand nombre de fois}}\) :
en considérant que les probabilités sont les limites des fréquences pour un grand nombre de répétitions.
\(\color{red}{\textbf{Lorsqu'une variable aléatoire est définie comme un gain algébrique lors d'un jeu,}}\)
\(\color{red}{\textbf{l'espérance représente le gain moyen après un très grand nombre de parties.}}\)
\(\color{red}{\textbf{Une espérance nulle indique un jeu équitable,}}\)
\(\color{red}{\textbf{une espérance négative indique un jeu défavorable au joueur}}\)
\(\color{red}{\textbf{une espérance positive indique un jeu favorable au joueur.}}\)