Exercice : Exemple 18 :
Une association projette d'organiser une loterie auprès du public.
Le billet est à 3€.
Deux solutions sont envisageables.
L'association pense pouvoir vendre 2000€, ses frais s'élèvent à 900€.
\(\color{magenta}{\textbf{Formule A}}\)
Gain du joueur | 0 | 10 | 100 |
|---|---|---|---|
% de billet | \(94%\) | \(5%\) | \(1%\) |
\(\color{magenta}{\textbf{Formule B}}\)
Gain du joueur | 0 | 10 | 20 | 40 |
|---|---|---|---|---|
% de billet | \(91,25%\) | \(5%\) | \(2,5%\) | 1,25% |
Question
Quel bénéfice peut elle espérer ?
Solution
\(X_1\) variable aléatoire de gain pour le jeu 1
\(X_2\) variable aléatoire de gain pour le jeu 2
\(E(X_1)=\frac{94}{100}\times (-3)+\frac{5}{100}\times 7+\frac{1}{100}\times 97\)
\(E(X_1)=\frac{1}{100}(-282+35+97)=\frac{1}{100}(-282+35+97)\)
\(E(X_1)=\frac{-150}{100}=-1,5\)
\(E(X_2)=\frac{91,25}{100}\times (-3)+\frac{5}{100}\times 7+\frac{2,5}{100}\times 17+\frac{1,25}{100}\times 37\)
\(E(X_1)=\frac{1}{100}(-273,75+35+42,5+46,25)\)
\(E(X_1)=\frac{-150}{100}=-1,5\)
L'espérance des deux jeux est la même.
Pour différencier les deux jeux, il faut donc calculer les variances.
\(V(X_1)=\frac{94}{100}\times (-3-(-1,5))^2+\frac{5}{100}\times (7-(-1 ;5))^2+\frac{1}{100}\times (97-(-1,5))^2\)
\(V(X_1)=\frac{94}{100}\times (-1,5)^2+\frac{5}{100}\times (8,5)^2+\frac{1}{100}\times (98,5)^2\)
\(V(X_1)=\frac{94}{100}\times 2,25+\frac{5}{100}\times 72,25+\frac{1}{100}\times 9702,25\)
\(V(X_1)=\frac{1}{100}(211,5+361,25+ 9702,25)\)
\(V(X_1)=\frac{10275}{100}=102,75\)
\(\sigma(X_1)=\sqrt{102,75}\simeq10,14\)
\([E(X_1)-\sigma(X_1) ;E(X_1)-\sigma(X_1)]=[-1,5-10,14 ;-1 ,5+10,14]=[-11,64 ;8,64]\)
\(V(X_2)=\frac{91,25}{100}\times (-3-(-1,5))^2+\frac{5}{100}\times (7-(-1,5))^2+\frac{2,5}{100}\times (17-(-1,5))^2+\frac{1,25}{100}\times (37-(-1,5))^2\)
\(V(X_2)=\frac{91,25}{100}\times 2,25+\frac{5}{100}\times 72,25+\frac{2,5}{100}\times 342,25+\frac{1,25}{100}\times 1482,25\)
\(V(X_2)=\frac{1}{100}(205,31+361,25+ 855,63+185,31)\)
\(V(X_2)=\frac{1607,5}{100}=16,075\)
\(\sigma(X_2)=\sqrt{16,075}\simeq4\)
\([E(X_2)-\sigma(X_2) ;E(X_2)-\sigma(X_2)]=[-1,5-4 ;-1 ,5+4]=[-5,5 ;2,5]\)
Il vaut mieux choisir le jeu 2 pour l'organisateur car l'intervalle des gains est plus petit.