Chapitre XI Variables aléatoires

\(\color{magenta}{\textbf{Pour la loi X :}}\)

\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{12}{12}=1\)

\(\color{magenta}{\textbf{Pour la loi Y :}}\)

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{12}{12}=1\)

donc

\(\color{red}{\textbf{Ces tableaux décrivent bien des lois de probabilité. car les sommes des probabilités valent bien 1}}\)

\(b.E(X)=-2 \times \frac{1}{4}+1 \times \frac{1}{3}+2 \times \frac{1}{4}+5  \times \frac{1}{12}+10  \times \frac{1}{12}\)

\(E(X)=\frac{-1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{5}{12}+\frac{5}{6}\)

\(E(X)=\frac{4}{12}+\frac{5}{12}+\frac{10}{12}\)

\(E(X)=\frac{19}{12}\simeq1,58\)

\(E(Y)=-5 \times \frac{1}{3}+1 \times \frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{12}+5  \times \frac{1}{4}+10  \times \frac{1}{6}\)

\(E(Y)=\frac{-5}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{4}+\frac{5}{3}\)

\(E(Y)=\frac{2}{12}+\frac{2}{12}+\frac{15}{12}\)

\(E(Y)=\frac{19}{12}\simeq1,58\)

\(\color{red}{\textbf{Les espérances de gains sont les mêmes pour les deux jeux, on ne peut pas dire quel est le plus avantageux pour le joueur}}\)

\(V(X)=(-2-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{4}+(1-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{3}+(2-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{4}+(5-\frac{19}{12})^2  \times \frac{1}{12}+(10-\frac{19}{12})^2  \times \frac{1}{12}\)

\(V(X)=(-\frac{24}{12}-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{4}+(\frac{12}{12}-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{3}+(\frac{24}{12}-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{4}+(\frac{60}{12}-\frac{19}{12})^2  \times \frac{1}{12}+(\frac{120}{12}-\frac{19}{12})^2  \times \frac{1}{12}\)

\(V(X)=(-\frac{43}{12})^2 \times \frac{1}{4}+(\frac{3}{12})^2 \times \frac{1}{3}+(\frac{5}{12})^2 \times \frac{1}{4}+(\frac{41}{12})^2  \times \frac{1}{12}+(\frac{101}{12})^2  \times \frac{1}{12}\)

\(V(X)=\frac{1}{144}(\frac{43^2}{4}+\frac{9}{3}+\frac{25}{4}+\frac{41^2}{12}+ \frac{101^2}{12})\)

\(V(X)=\frac{1}{144}(\frac{1849}{4}+\frac{9}{3}+\frac{25}{4}+\frac{1681}{12}+ \frac{10201}{12})\)

\(V(X)=\frac{1}{144}(\frac{5547}{12}+\frac{36}{12}+\frac{75}{12}+\frac{1681}{12}+ \frac{10201}{12})\)

\(V(X)=\frac{1}{1728}(5547+36+75+1681+10201)\)

\(V(X)=\frac{17540}{1728}\)

\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\simeq3,19\)

\([E(X)-\sigma(X) ;E(X)+\sigma(X) ]\simeq[1,58-3,19 ;1,58-3,19]\simeq\fbox{[-1,61 ;4,77]}\)

\(V(Y)=(-5-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{3}+(1-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{6}+(2-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{12}+(5-\frac{19}{12})^2  \times \frac{1}{4}+(10-\frac{19}{12})^2  \times \frac{1}{6}\)

\(V(Y)=(-\frac{60}{12}-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{3}+(\frac{12}{12}-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{6}+(\frac{24}{12}-\frac{19}{12})^2 \times \frac{1}{12}+(\frac{60}{12}-\frac{19}{12})^2  \times \frac{1}{4}+(\frac{120}{12}-\frac{19}{12})^2  \times \frac{1}{6}\)

\(V(Y)=(-\frac{79}{12})^2 \times \frac{1}{3}+(\frac{-7}{12})^2 \times \frac{1}{6}+(\frac{5}{12})^2 \times \frac{1}{12}+(\frac{41}{12})^2  \times \frac{1}{4}+(\frac{101}{12})^2  \times \frac{1}{6}\)

\(V(Y)=\frac{1}{144}(79^2 \times \frac{1}{3}+49 \times \frac{1}{6}+25 \times \frac{1}{12}+41^2  \times \frac{1}{4}+101^2  \times \frac{1}{6})\)

\(V(Y)=\frac{1}{144}(\frac{6241}{3}+\frac{49}{6}+\frac{25}{12}+\frac{1681}{4}+\frac{10201}{6})\)

\(V(Y)=\frac{1}{144}(\frac{24964}{12}+\frac{98}{12}+\frac{25}{12}+\frac{5043}{12}+\frac{20402}{12})\)

\(V(Y)=\frac{1}{1728}(24964+98+25+5043+20402)\)

\(V(Y)=\frac{50532}{1728}\)

\(\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}\simeq5,41\)

\([E(Y)-\sigma(Y) ;E(Y)+\sigma(Y) ]\simeq[1,58+5,41 ;1,58+5,41]\simeq\fbox{[-3,83 ;6,99]}\)

\(\color{red}{\textbf{Si on veut minimiser le montant des pertes sur un grand nombre de parties , il est favorable de jouer au jeu X ; -1,61<-3,83}}\)

\(\color{red}{\textbf{Si on veut maximiser le montant des gains sur un grand nombre de parties, il est favorable de jouer au jeu Y ; 4,77<6,99}}\)