Exercice : Exemple 15 :

Dans une salle de jeux, un appareil comporte 5 roues, chacune portant à sa périphérie 8 images de fruits différents

Une mise de 1 € déclenche le fonctionnement de l'appareil pour une partie.

Chacune des 5 roues affiche au hasard dans une fenêtre un de ces fruits.

On admettra que tous les événements élémentaires sont équiprobables.

Certains résultats permettent de gagner de l'argent:

  • 50 € pour 5 fruits identiques ;

  • 5 € pour 4 fruits identiques ;

  • 1 € pour 5 fruits distincts ;

  • 0 € pour les autres résultats.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le gain indiqué.

Question

Calculer l'espérance mathématique de X.

Solution

  • Nombres de résultats différents : 8 choix pour chaque roue donc : \(8^5=32768\)

  • Nombres de résultats avec le même fruit sur chaque roue : 8 \(\mapsto\) p("obtenir le même fruit sur chaque roue")=\(\frac{8}{8^5}=\frac{8}{32768}=\frac{1}{4096}\)

  • Nombres de résultats avec 4 fruits identiques : 5 manières choisir roue avec un fruit différent ×8 possibilité de fruit ×7 pour les 4 autres roues =280\(\mapsto\) p("obtenir 4 fruits identiques ")=\(\frac{280}{8^5}\)=\(\frac{280}{32768}\)=\(\frac{35}{4096}\)

  • Nombres de résultats avec 5 fruits distincts :

8 choix pour le premier fruit×7 choix pour le deuxième fruit×6 choix pour le troisième fruit×5 choix pour le quatrième fruit×4 choix pour le cinquième fruit=

\(\mapsto\) p("obtenir 5 fruits distincts")=\(\frac{6720}{8^5}\)=\(\frac{6720}{32768}\)=\(\frac{105}{512}\)

  • Autres lancers :\(32768 -8-280-6720=25760\)

\(\mapsto\) p("obtenir un autre lancer")=\(\frac{25760}{8^5}\)=\(\frac{805}{1024}\)=

\(x_i\)

49

4

0

-1

\(p(X=x_i)\)

\(\frac{1}{4096}\)

\(\frac{35}{4096}\)

\(\frac{105}{512}\)

\(\frac{805}{1024}\)

\(E(X)=\frac{1}{4096}\times 49 +\frac{35}{4096} \times 4 +\frac{105}{512} \times 0 +\frac{805}{1024} \times (-1)\)

\(E(X)=\frac{49}{4096} +\frac{140}{4096}-\frac{805}{1024}\)

\(E(X)=\frac{49}{4096} +\frac{140}{4096}-\frac{3220}{4096}\)

\(E(X)=\frac{1}{4096} (49+140-3220)\)

\(E(X)=\frac{1}{4096} (49+140-3220)\)

\(E(X)=\frac{-3031}{4096}\simeq-0,74\)

donc il n'est pas favorable de jouer à ce jeu car l'espérance est négative, on perd en moyenne 0,74 € sur 1€ misé.