Exercice : Exemple 14 :

Un sac contient :

- 15 jetons bleus

- 10 jetons rouges

- 3 jetons verts

- et 2 jetons noirs,

tous indiscernables au toucher.

Un joueur extrait au hasard un jeton de ce sac et note sa couleur :

B pour bleu, R pour rouge, V pour vert et N pour noir.

Il marque 3 points si le jeton est rouge, 5 points si le jeton est vert, mais perd 1 point si le jeton est bleu et perd 3 points si le jeton est noir.

Soit G la variable aléatoire qui donne le nombre de points ( positif ou négatif ) obtenu par le joueur.

Question

1.Déterminer la loi de probabilité de la variable G.

Solution

\(g_i\)

-3

-1

3

5

\(p(G=g_i)\)

\(\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\)

\(\frac{15}{30}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\)

Question

2.Calculer l'espérance E(G) de ce jeu.Est il avantageux d'y jouer ?

Solution

\(E(G)=\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{10} \times 5 +\frac{1}{2} \times (-1)+\frac{1}{15} \times (-3)\)

\(\iff E(G)=1+\frac{1}{2} -\frac{1}{2}-\frac{3}{15}\)

\(\iff E(G)=1+\frac{1}{2} -\frac{1}{2}-\frac{3}{15}\)

\(\iff E(G)=\frac{15}{15} -\frac{3}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\)

Il est avantageux de jouer à ce jeu car l'espérance de gain est positive.

Question

3.Calculer la variance de ce jeu V(X) et son écart type \(\sigma(X)\)Interpréter ces grandeurs.

Solution

\(V(X)=\frac{1}{3}\times (3-\frac{4}{5} )^2+\frac{1}{10} \times (5-\frac{4}{5} )^2 +\frac{1}{2} \times ((-1)-\frac{4}{5} )^2+\frac{1}{15} \times ((-3)-\frac{4}{5} )^2\)

\(\iff V(X)=\frac{1}{3}\times (\frac{15}{5}-\frac{4}{5} )^2+\frac{1}{10} \times (\frac{25}{5}-\frac{4}{5} )^2 +\frac{1}{2} \times (-\frac{5}{5}-\frac{4}{5} )^2+\frac{1}{15} \times (-\frac{15}{5}-\frac{4}{5} )^2\)

\(\iff V(X)=\frac{1}{3}\times (\frac{11}{5})^2+\frac{1}{10} \times (\frac{21}{5})^2 +\frac{1}{2} \times (-\frac{9}{5})^2+\frac{1}{15} \times (-\frac{19}{5} )^2\)

\(\iff V(X)=\frac{1}{25}[\frac{1}{3}\times 121+\frac{1}{10} \times 441 +\frac{1}{2} \times 81+\frac{1}{15} \times 361]\)

\(\iff V(X)=\frac{1}{25}[\frac{121}{3}+\frac{441}{10} +\frac{81}{2} +\frac{361}{15}]\)

\(\iff V(X)=\frac{1}{25}[\frac{1210}{30}+\frac{1323}{30} +\frac{1215}{30} +\frac{722}{30}]\)

\(\iff V(X)=\frac{1}{750}[1210+1323+1215+722]\)

\(\iff V(X)=\frac{1}{750}[4470]\)

\(\iff V(X)=\frac{447}{75}\)

\(\iff V(X)=\frac{149}{25}\)

\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\frac{\sqrt{149}}{5}\)

\([E(X)-\sigma(X) ;E(X)+\sigma(X)]=[\frac{4}{5} -\frac{\sqrt{149}}{5} ;\frac{4}{5} -\frac{\sqrt{149}}{5}]\simeq[-1,64 ;2,64]\)

Donc les gains dans ce jeu se situent dans ce jeu avec de fortes chances en moyenne pour un grand nombre de parties entre -1,64€ et 2,64€