Exercice : Exemple 9 :
On lance un dé équilibré à 6 faces, on gagne la somme en euros qui est indiquée sur le dé.
Question
1.Combien peut on espérer gagner en moyenne sur un grand nombre de parties?
Solution
\(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(p(X=x_i)\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) |
\(E(X)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{1}{6}(\frac{6\times 7}{2})=\frac{1}{6}×21=\frac{7}{2}=3,5\)
Donc
\(\color{red}{\textbf{le joueur peut espérer gagner en moyenne 3,5 euros sur un grand nombre de parties}}\)
Question
2.Calculer la variance et l'écart type de la variable aléatoire qui a la face obtenue associe le gain en euros.
Solution
Variance :
\(V(x)=\frac{1}{6}(1-3,5)^2+\frac{1}{6}(2-3,5)^2+\frac{1}{6}(3-3,5)^2+\frac{1}{6}(4-3,5)^2+\frac{1}{6}(5-3,5)^2+\frac{1}{6}(6-3,5)^2\)
\(\iff V(x)=\frac{1}{6}(-2,5)^2+\frac{1}{6}(-1,5)^2+\frac{1}{6}(-0,5)^2+\frac{1}{6}(0,5)^2+\frac{1}{6}(1,5)^2+\frac{1}{6}(2,5)^2\)
\(\iff V(x)=\frac{1}{6}(-2,5)^2+\frac{1}{6}(-1,5)^2+\frac{1}{6}(-0,5)^2+\frac{1}{6}(0,5)^2+\frac{1}{6}(1,5)^2+\frac{1}{6}(2,5)^2\)
\(\iff V(x)=\frac{1}{6} \times 6,25+\frac{1}{6}\times 2,25+\frac{1}{6} \times 0,25+\frac{1}{6} \times 0,25+\frac{1}{6} \times 2,25+\frac{1}{6} \times 6,25\)
\(\iff V(x)=\frac{1}{6} \times (6,25+2,25+0,25+0,25+2,25+6,25)\)
\(\iff V(x)=\frac{1}{6} \times 17,5\)
\(\iff V(x)=\frac{17,5}{6}\)
Ecart-Type :
\(\sigma(X)=\sqrt{\frac{17,5}{6}}\)
\(\iff \sigma(X)=\sqrt{\frac{105}{36}}\)
\(\iff \sigma(X)=\frac{\sqrt{105}}{6}\)
\(\iff \sigma(X)=\frac{\sqrt{105}}{6}\)
Intervalle des valeurs les plus probables :
\([E(X)-\sigma(X) ;E(X)+\sigma(X)]\)
\(=[3,5-\frac{\sqrt{105}}{6} ;3,5+\frac{\sqrt{105}}{6}]\)
\(\simeq[1,79 ;5,21]\)
Le joueur a de fortes chances de gagner entre 1,79€ et 5,21€