Exercice : Exemple 8 :
Une entreprise qui fabrique des balles rebondissantes fait une étude sur une gamme produite.
Le diamètre théorique doit être égal à 1,3 cm mais cette mesure peut être légèrement erronée.
L'expérience consiste à tirer au hasard une balle d'un lot de la production et à mesurer son diamètre.
On considère la variable aléatoire X qui à une bille choisie au hasard associe son diamètre.
La loi de probabilité de X est résumée dans le tableau suivant :
\(x_i\) | 1,298 | 1,299 | 1,3 | 1,301 | 1,302 |
|---|---|---|---|---|---|
\(p(X = xi)\) | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
Question
1. Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire Y = 1000X – 1300.
Compléter le tableau ci-dessous pour la loi de probabilité de Y :
\(y_i\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
\(p(Y = yi)\) |
Solution
\(y_i\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
\(p(Y = yi)\) | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
Question
2. Calculer l'espérance et la variance de la loi de probabilité de Y
Solution
\(E(Y)=-2\times 0,2 +(-1) \times 0,1 +0 \times 0,2+1\times 0,4 +2 \times 0,1=-0,4-0,1+0,4+0 ,2=0,1\)
\(V(Y)=(-2-0,1)^2 \times 0,2 +(-1-0,1)^2 \times 0,1+(0-0,1)^2 \times 0,2+(1-0,1)^2 \times 0,4+(2-0,1)^2 \times 0,1\)
\(V(Y)=2,1^2 \times 0,2 +1,1^2 \times 0,1+0,1^2 \times 0,2+0,9^2 \times 0,4+1,9^2 \times 0,1\)
\(V(Y)=4,41 \times 0,2 +1,21 \times 0,1+0,01 \times 0,2+0,81 \times 0,4+3,61 \times 0,1\)
\(V(Y)=1,69\)
Question
3. En déduire l'espérance et la variance de la loi de probabilité de X
Solution
\(E(Y)=0,1\)
\(E(1000X-1300)=0,1\)
\(1000E(X)-1300=0,1\)
\(1000E(x)=1300+0,1\)
\(1000E(X)=1300,1\)
\(E(X)=1,3001\)
\(V(Y)=1,69\)
\(V(1000X-1300) = 1000^2V(X)\)
donc \(1,69=1000^2V(X)\)
d'où \(V(X)=\frac{1,69}{1000^2}\)
\(V(X)=\frac{1,69}{1000^2}=0,00000169=1,69\times 10^{-6}\)
\(\sigma(X)=\sqrt{1,69 \times 10^{-6}}=1,3 \times 10^{-3}\)
\(x_i\) | 1,298 | 1,299 | 1,3 | 1,301 | 1,302 |
|---|---|---|---|---|---|
\(p(X = xi)\) | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
\(E(X)=1,298\times 0,2 +1,299 \times 0,1 +1,3 \times 0,2+1,301\times 0,4 +1,302 \times 0,1\)
\(E(X)=0,2596+0,1299+0 ,26+0,5204+0,1302\)
\(E(X)=1,3001\)
\(V(X)=(1,298-1,3001)^2 \times 0,2 +(1,299-1,3001)^2 \times 0,1+(1,3-1,3001)^2 \times 0,2+(1,301-1,3001)^2 \times 0,4+(1,302-1,3001)^2 \times 0,1\)
\(V(X)=(-0,0021)^2 \times 0,2 +(-0,0011)^2 \times 0,1+(-0,0001)^2 \times 0,2+(0,0009)^2 \times 0,4+(0,0019)^2 \times 0,1\)
\(V(X)=2,1^2 \times (10^{-3})^2 \times 0,2 +1,1^2 \times (10^{-3})^2 \times 0,1+0,1^2 \times (10^{-3})^2 \times 0,2+0,9^2 \times (10^{-3})^2 \times 0,4+1,9^2 \times (10^{-3})^2 \times 0,1\)
\(V(X)=10^{-6}[4,41 \times 0,2 +1,21 \times 0,1+0,01 \times 0,2+0,81 \times 0,4+3,61 \times 0,1]\)
\(V(X)=1,69 \times 10^{-6}\)
\(\sigma(X)=\sqrt{1,69 \times 10^{-6}}\)
\(\sigma(X)=1,3 \times 10^{-3}\)