Exercice : Exemple 4 :
Soit l'expérience aléatoire : "On tire une carte dans un jeu de 32 cartes."
On considère le jeu suivant :
Si on tire un cœur, on gagne 2€.
Si on tire un roi, on gagne 5€.
Si on tire une autre carte, on perd 1€.
On appelle X la variable aléatoire qui à une carte tirée associe un gain ou une perte.
Question
1.Déterminer la loi de probabilité de X.
Solution
Carte tirée | Coeur (autre que le roi) | Roi (autre que le roi de coeur) | Roi de Coeur | Autre Carte |
|---|---|---|---|---|
Somme reçue | 2 | 5 | 7 | -1 |
\(\color{red}{\textbf{On peut donc définir une fonction X qui a chaque issue associe la somme reçue.}}\)
\(\color{red}{\textbf{Cette fonction prend donc les valeurs -2,2,5,7}}\)
\(\begin{cases}p(X=2)=\frac{7}{32}\\p(X=5)=\frac{3}{32}\\p(X=7)=\frac{1}{32}\\p(X=-1)=\frac{21}{32}\end{cases}\)
\(x_i\) | -1 | 2 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
\(p(X =x_i)\) | \(\frac{21}{32}\) | \(\frac{7}{32}\) | \(\frac{3}{32}\) | \(\frac{1}{32}\) |
Ce tableau résume la \(\color{red}{\underline{\textbf{Loi de probabilité}}}\) de la \(\color{red}{\underline{\textbf{variable aléatoire X}}}\).
Question
2. Déterminer p(X≥2)
Solution
\(p(X\ge 2)=p(X=2)+p(X=5)+p(X=7)=\frac{7}{32}+\frac{3}{32}+\frac{1}{32}=\underline{\frac{11}{32}}\)
Question
3 Quel est le gain moyen que l'on peut espérer par partie ? Est il avantageux de jouer à ce jeu ?
Solution
Calcul du gain moyen :
\(\frac{21}{32}\times (-1)+ \frac{7}{32} \times 2 +\frac{3}{32} \times 5 +\frac{1}{32} \times 7\)
\(=\frac{-21}{32}+ \frac{14}{32}+\frac{15}{32}+\frac{7}{32}\)
\(=\frac{15}{32}>0\)
Donc
\(\color{red}{\textbf{ On peut donc espérer un gain positif pour ce jeu sur un grand nombre de parties, il est avantageux de jouer à ce jeu.}}\)