Exercice : Exemple 3 :

On appelle N la variable aléatoire qui à chaque jour d'ouverture d'un hypermarché (comportant 10 caisses) associe le nombre de caisses en services.

La loi de N est donnée par le tableau ci-dessous :

Question

1.Déterminer le réel a.

Solution

p(N=1)+p(N=2)+p(N=3)+p(N=4)+p(N=5)+p(N=6)+p(N=7)+p(N=8)+p(N=9)+p(N=10) =1

donc 0,04+0,06+0,14+0,18+0,17+0,15+0,12+0,09+0,04+p(N=10) =1

0,04+0,06+0,14+0,18+0,17+0,15+0,12+0,09+0,04+p(N=10) =1

0,99+p(N=10) =1

0,99+a =1

a=1-0,99=0,01

donc la probabilité que 10 caisses ne soit ouvertes est de 1%.

Question

2.Calculer \(p(N\ge 8)\) puis p(N>2)

Solution

\(p(N\ge8)=0,09+0,04+0,01=0,14\)

\(\color{magenta}{\textbf{1ère méthode : }}\)

p(N>2)=p(N=3)+p(N=4)+p(N=5)+p(N=6)+p(N=7)+p(N=8)+p(N=9)+p(N=10) =0,14+0,18+0,17+0,15+0,12+0,09+0,04+0,01=\(\fbox{0,9}\)

\(\color{magenta}{\textbf{2ème méthode : }}\)

p(N>2)=1-(p(N=1)+p(N=2))=1-(0,04+0,06)=1-0,10=\(\fbox{0,9}\)

Question

3. Quel est le nombre moyen de caisses que l'on peut espérer trouver ouvertes un jour donné ?

Solution

\(p(N=1) \times 1+p(N=2) \times 2+p(N=3) \times 3+p(N=4) \times 4+p(N=5) \times 5+p(N=6) \times 6+p(N=7) \times 7\)

\(+p(N=8) \times 8+p(N=9) \times 9+p(N=10) \times 10\)

\(=0,04 \times 1+0,06,\times 2+0,14 \times 3+0,18 \times 4+0,17 \times 5+0,15 \times 6+0,12 \times 7+0,09 \times 8+0,04\times 9+ 0,01 \times 10\)

=0,04+0,12+0,42 +0,72+0,85 +0,90 +0,84 +0,72 +0,36+ 0,10

=5,07

donc \(\color{red}{\textbf{On peut donc espérer trouver en moyenne 5 caisses ouvertes un jour donné.}}\)