Exercice : Dé truqué

On lance un dé à 6 faces \(\color{magenta}{truqué.}\)

La probabilité d'obtenir un 1, un 2 , un 3 ou un 4 est de \(\frac{1}{12}\) pour chaque numéro.

La probabilité d'obtenir un 5 est de \(\frac{1}{6}\)

La probabilité d'obtenir un 6 est de \(\frac{1}{2}\)

Question

1. Vérifier que les probabilités sont cohérentes.

Indice

Vérifier que les probabilités sont cohérentes signifie regarder si la somme des probabilités vaut 1

Solution

\(4 \times \frac{1}{12}+1 \times \frac{1}{6}+1 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{6}{6}=1\)

donc les probabilés sont cohérentes.

Question

2. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois un 6 en deux tirages ?

Solution

p("obtenir deux fois un 6 en deux tirages")=\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)=\(\frac{1}{4}\)

Question

3. Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois un 6 en trois tirages ?

Solution

p("obtenir trois fois un 6 en trois tirages")=\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)

Question

4. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir de 5 ou de 6 sur deux tirages ?

Solution

p("ne pas obtenir de 5 ou de 6 sur deux tirages")=4\(\times\frac{1}{12}\times(4 \times \frac{1}{12})=\frac{16}{144}=\frac{1}{9}\)

en effet il y a 4 numéros possibles au premier tirage, les nombres de 1 à 4 et 4 numéros possibles au premier tirage, les nombres de 1 à 4.

Question

5. Quelle est la probabilité d'obtenir un seul 6 en deux tirages ?

Solution

"obtenir un seul 6 en deux tirages" :

p("Obtenir un nombre compris entre 1 et 4 puis un 6")= 4\(\times\frac{1}{12}\times \frac{1}{2}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\)

p("Obtenir un nombre 5 puis un 6")= \(\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}\)=\(\frac{1}{12}\)

p("Obtenir un nombre 6 puis un nombre différent du 6")= \(\frac{1}{2}\times(4 \times \frac{1}{12}+\frac{1}{6})=\frac{1}{2}\times( \frac{1}{3}+\frac{1}{6})\)

p("Obtenir un nombre 6 puis un nombre différent du 6")= \(\frac{1}{2}\times( \frac{2}{6}+\frac{1}{6})=\frac{1}{2}\times \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

p("obtenir un seul 6 en deux tirages")=\(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)