Exercice : Urne 2

Une urne contient trente-quatre billes indiscernables au toucher, 20 sont blanches et numérotées de 1 à 20,

14 sont rouges et numérotées de 1 à 14.

On tire au hasard une bille de l'urne. On considère les événements suivants :

• A : « obtenir une bille blanche »

• B : « obtenir une bille numérotée 1 »

• C : « obtenir une bille qui porte un numéro pair »

Question

1. Déterminer p (A), \(p (\overline{A})\) , p ( B) et p(C) .

Solution

\(p (A)=\frac{20}{34}=\frac{10}{17}\)

\(\overline{A}\) est l'événement « obtenir une bille qui n'est pas blanche » donc « obtenir une bille rouge »

\(p (\overline{A})=1-p(A)=p (A)=1-\frac{10}{17}=\frac{7}{17}\) 

\(p(B)=\frac{2}{34}=\frac{1}{17}\)

p(C)\(=\frac{17}{34}=\frac{1}{2}\)

Question

2. Déterminer par une phrase chacun des deux événements suivants : A ∩ B et A ∪ C

Solution

A ∩ B est l'événement « obtenir une bille blanche et numérotée 1 »

A ∪ C est l'événement « obtenir une bille blanche ou qui porte un numérotée pair »

\(p(A ∪ C)=\frac{27}{34}\)

Question

3. Calculer p(A ∩ B) et p(A ∪ C ) .

Solution

\(p(A ∩ B)=\frac{1}{34}\) et \(p(A ∪ C)=\frac{27}{34}\)

Question

4. Déterminer les événements B ∩ C .

Que peut-on en déduire concernant les événements B et C ?

Solution

B ∩ C est l'événement « obtenir une bille numérotée 1 et qui porte un numéro pair » donc \(B \cap C=\varnothing\) donc les évènements B et C sont incompatibles.

Question

5. Calculer p ( B ∪ C ) .

Solution

Comme B et C sont incompatibles, on en déduit que p (B∪C)=p(B)+p(C)

d'où \(p (B∪C)=\frac{2}{34}+\frac{17}{34}=\frac{19}{34}\)

\(B \cup C\) est l'événement « obtenir une bille numérotée 1 et qui porte un numéro pair »