Exercice : Urne
Une urne contient quatre boules blanches numérotées \(B_1, B_2,B_3\) et \(B_4\) et et deux boules noires \(N_1\) et \(N_2\).
1. On tire au hasard une boule dans l'urne et on considère les événements :
A : « le numéro figurant sur la boule tirée est 2 »,
B : « la boule tirée est blanche ».
Question
a. Donner les probabilités respectives des événements A et B.
Solution
\(p(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
\(p(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
Question
b. Quelle notation désigne l'événement E : « la boule tirée est \(N_2\)» :
\(A \cup B\)
\(A \cap B\)
\(\overline{A}\)
Solution
E : « la boule tirée est \(N_2\)» =\(A \cap B\)
Question
c. Quelle est la probabilité de l'événement E ?
Solution
\(p(E)=\frac{1}{6}\)
Question
d. Déduire des résultats précédents la probabilité de l'événement :
F : « la boule tirée est blanche ou est numérotée 2 ».
Solution
p(F)=p( « la boule tirée est blanche ou est numérotée 2 »)
=\(p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B)\)
=\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{4}{6}-\frac{1}{6}\)
\(=\frac{5}{6}\) (cela correspond à laprobabilité de tirer la boule \(N_1\))
2. Après avoir remis la boule tirée précédemment, on en tire au hasard une deuxième.
Une issue de l'expérience aléatoire est notée par exemple\( (N_1,N_2)\) ce qui signifie qu'on a tiré d'abord \(N_1\) puis \(N_2\).
Question
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
1ere boule / 2eme boule | \(B_1\) | \(B_2\) | \(B_3\) | \(B_4\) | \(N_1\) | \(N_2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(B_1\) | ||||||
\(B_2\) | ||||||
\(B_3\) | ||||||
\(B_4\) | ||||||
\(N_1\) | ||||||
\(N_2\) |
Solution
1ere boule / 2eme boule | \(B_1\) | \(B_2\) | \(B_3\) | \(B_4\) | \(N_1\) | \(N_2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(B_1\) | \((B_1,B_1)\) | \((B_1,B_2)\) | \((B_1,B_3)\) | \((B_1,B_4)\) | \((B_1,N_1)\) | \((B_1,N_2)\) |
\(B_2\) | \((B_2,B_1)\) | \((B_2,B_2)\) | \((B_2,B_2)\) | \((B_2,B_4)\) | \((B_2,N_1)\) | \((B_2,N_2)\) |
\(B_3\) | \((B_3,B_1)\) | \((B_3,B_2)\) | \((B_3,B_3)\) | \((B_3,B_4)\) | \((B_3,N_1)\) | \((B_3,N_2)\) |
\(B_4\) | \((B_4,B_1)\) | \((B_4,B_2)\) | \((B_4,B_3)\) | \((B_4,B_4)\) | \((B_4,N_1)\) | \((B_4,N_2)\) |
\(N_1\) | \((N_1,B_1)\) | \((N_1,B_2)\) | \((N_1,B_3)\) | \((N_1,B_4)\) | \((N_1,N_1)\) | \((N_1,N_2)\) |
\(N_2\) | \((N_2,B_1)\) | \((N_2,B_2)\) | \((N_2,B_3)\) | \((N_2,B_4)\) | \((N_2,N_1)\) | \((N_2,N_2)\) |
Question
b. Combien l'expérience a-t-elle d'issues possibles ? Que peut-on dire de ces issues ?
Solution
L'expérience a 36 issues et chaque issue est une issue élémentaire.
Question
c. On appelle M l'événement : « les deux boules tirées ont la même couleur ».
Justifier le fait que la probabilité de M est .
Solution
p(M)=p( « les deux boules tirées ont la même couleur »)=\(\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\)
Question
3. Kévin parie qu'il va tirer deux boules de couleurs différentes. Accepteriez-vous sa proposition ? Justifiez.
Solution
J'accepte sa proposition car il a moins de chance que moi de gagner car il y a plus d'issues composées de deux boules de même couleur que d'issues composées de deux couleurs différentes.
Question
4. Votre ami Jordan vous dit en aparté que Kévin est un tricheur qui va discrètement omettre de remettre la première boule tirée dans l'urne.
Acceptez-vous de faire le même pari que dans le 3. ? Justifiez.
Solution
Si on omet de remettre la première boule tirée dans l'urne, il faut enlever les doubles donc dans ce cas
p(M)=p( « les deux boules tirées ont la même couleur »)=\(\frac{14}{30}=\frac{7}{15}\)
1ere boule / 2eme boule | \(B_1\) | \(B_2\) | \(B_3\) | \(B_4\) | \(N_1\) | \(N_2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(B_1\) | impossible | \((B_1,B_2)\) | \((B_1,B_3)\) | \((B_1,B_4)\) | \((B_1,N_1)\) | \((B_1,N_2)\) |
\(B_2\) | \((B_2,B_1)\) | impossible | \((B_2,B_2)\) | \((B_2,B_4)\) | \((B_2,N_1)\) | \((B_2,N_2)\) |
\(B_3\) | \((B_3,B_1)\) | \((B_3,B_2)\) | impossible | \((B_3,B_4)\) | \((B_3,N_1)\) | \((B_3,N_2)\) |
\(B_4\) | \((B_4,B_1)\) | \((B_4,B_2)\) | \((B_4,B_3)\) | impossible | \((B_4,N_1)\) | \((B_4,N_2)\) |
\(N_1\) | \((N_1,B_1)\) | \((N_1,B_2)\) | \((N_1,B_3)\) | \((N_1,B_4)\) | impossible | \((N_1,N_2)\) |
\(N_2\) | \((N_2,B_1)\) | \((N_2,B_2)\) | \((N_2,B_3)\) | \((N_2,B_4)\) | \((N_2,N_1)\) | impossible |
je n'accepterai plus la proposition car Kevin a plus de chance que moi de gagner car il y a moins d'issues composées de deux boules de même couleur que d'issues composées de deux couleurs différentes.