Exercice : Tirages de jetons

Une urne contient 12 jetons, numérotés de 1 à 12.

Les jetons numérotés de 1 à 5 sont rouges et les autres sont noirs.

Les jetons sont indiscernables au toucher.

On tire un jeton au hasard.

1. On note A l'événement « Le jeton tiré est rouge ».

Question

a. Donner la liste des issues de l'événement A.

Solution

\(A={R_1,R_2,R_3,R_4,R_5}\)

Question

b. Déterminer la probabilité de l'événement A (on la notera p (A)).

Solution

\(p(A)=\frac{5}{12}\)

2. On note \(\overline{A}\) l'événement contraire de A.

Question

a. Décrire l'événement \(\overline{A}\) par une phrase.

Solution

 \(\overline{A}\) est l'événement « Le jeton tiré n' est pas rouge » donc « Le jeton tiré est noir »

Question

b. Donner la liste des issues de l'événement \(\overline{A}\).

Solution

\(\overline{A}={N_6,N_7,N_8,N_9,N_{10},N_{11},N_{12}}\).

Question

c. Déterminer la probabilité de l'événement \(\overline{A}\) (on la notera p(\(\overline{A}\)))

Solution

p(\(\overline{A}\))=\(\frac{7}{12}\)

Question

d. Quelle relation lie p (A) et \(p(\overline{A})\)

Solution

p(A) + \(p(\overline{A})\) =1 ou \(p(\overline{A})\) =1-p(A)

Question

3. Reprendre les questions 1 et 2 pour l'événement B : « Le jeton tiré porte un numéro pair ».

Solution

\(B={R_2,R_4,N_6,N_8,N_{10},N_{12}}\)

\(p(B)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

\(\overline{B}\) est l'événement « Le jeton tiré ne porte pas un numéro pair » donc « Le jeton tiré porte un numéro impair »

\(\overline{B}={R_1,R_3,R_5,N_1,N_7,N_9,N_11}\).

p(\(\overline{B}\))=\(\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

p(B) + \(p(\overline{B})\) =1 ou \(p(\overline{B})\) =1-p(B)

4. On considère l'événement « A et B », noté A ∩ B (qui se lit A inter B) réalisé lorsque A et B sont réalisés en même temps.

Question

a. Décrire l'événement A ∩ B par une phrase.

Solution

A ∩ B est l'événement « Le jeton tiré est rouge et porte un numéro pair »

Question

b. Donner la liste des issues de l'événement A ∩ B.

Solution

\(A ∩ B={R_2,R_4}\)

Question

c. Déterminer la probabilité de l'événement A ∩ B (on la notera p (A ∩ B).

Solution

p (A ∩ B))=\(\frac{2}{12}=\))=\(\frac{1}{6}\)

5. Si on tire un jeton rouge, ou un jeton portant un numéro pair, on dit que l'événement « A ou B » est réalisé. On note cet événement A ∪ B (qui se lit A union B).

Question

a. Donner la liste des issues de l'événement A ∪ B.

Solution

A ∪ B est l'événement « Le jeton tiré est rouge ou porte un numéro pair »

A ∪ B =\({R_1,R_2,R_3,R_4,R_5,N_6,N_8,N_{10},N_{12}}\)

Question

b. Déterminer la probabilité de l'événement A ∪ B (on la notera p (A ∪ B))

Solution

\(p (A ∪ B)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)

Question

6. Vérifier l'égalité suivante : p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A∩B)

Solution

\(p (A) + p (B) − p (A∩B)=\frac{5}{12}+\frac{6}{12}-\frac{2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)