Exercice : Résoudre 6
Résoudre les équations suivantes :
Question
2. \(\sin(3x)=0.5\)
Solution
\(\begin{cases}3x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\x=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\\x=\frac{9\pi}{9}-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont donc :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\\x=\frac{8\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Recherche des solutions dans \(]-\pi ;\pi]\):
Pour k=0:
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{9}\\x=\frac{8\pi}{9}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=1 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\\x=\frac{8\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{9}+\frac{6\pi}{9}\\x=\frac{8\pi}{9}+\frac{6\pi}{9}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{7\pi}{9}\\x=\frac{14\pi}{9}\end{cases}\)
Seule la première valeur appartient à \(]-\pi ;pi]\), inutile de prendre des valeurs de k supérieures pour la deuxième valeur.
Pour k=2 :
\(x=\frac{\pi}{9}+\frac{4\pi}{3}\)
\(\iff x=\frac{\pi}{9}+\frac{12\pi}{9}\)
\(\iff x=\frac{13\pi}{9}\)
Cette valeur n'appartient pas à \(]-\pi ;pi]\) donc inutile de prendre des valeurs de k supérieures.
Pour k=-1 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{9}-\frac{2\pi}{3}\\x=\frac{8\pi}{9}-\frac{2\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{9}-\frac{6\pi}{9}\\x=\frac{8\pi}{9}-\frac{6\pi}{9}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-5\pi}{9}\\x=\frac{2\pi}{9}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=-2 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{9}-\frac{4\pi}{3}\\x=\frac{8\pi}{9}-\frac{4\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{9}-\frac{12\pi}{9}\\x=\frac{8\pi}{9}-\frac{12\pi}{9}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-11\pi}{9}\\x=\frac{-4\pi}{9}\end{cases}\)
Seule la deuxième valeur appartient à \(]-\pi ;pi]\), inutile de prendre des valeurs de k inférieures pour la première valeur.
Pour k=-3 :
\(x=\frac{8\pi}{9}-\frac{6\pi}{3}\)
\(\iff x=\frac{8\pi}{9}-\frac{18\pi}{9}\)
\(\iff x=\frac{10\pi}{9}\)
Cette valeur n'appartient à \(]-\pi ;\pi]\) donc inutile de prendre des valeurs de k inférieures.
Question
1.\( \cos x=\cos(3x-\frac{\pi}{6})\)
Solution
\(\begin{cases}x=3x-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=-(3x-\frac{\pi}{6})+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x-3x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=-3x+\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}-2x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x+3x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{12}-k\pi\\4x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{12}-k\pi\\x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Les solutions sont donc :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{12}-k\pi\\x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Recherche des solutions dans \(]-\pi ;\pi]\):
Pour k=0:
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{12}\\x=\frac{\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=1 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{12}-\pi\\x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{12}-\frac{12\pi}{12}\\x=\frac{\pi}{24}+\frac{12\pi}{24}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-11\pi}{12}\\x=\frac{13\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\).
Pour k=2 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{12}-2\pi\\x=\frac{\pi}{24}+\frac{2\pi}{2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{12}-\frac{24\pi}{12}\\x=\frac{\pi}{24}+\frac{24\pi}{24}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-23\pi}{12}\\x=\frac{25\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs n'appartiennent pas à \(]-\pi ;pi]\) donc inutile de prendre des valeurs de k supérieures.
Pour k=-1 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{12}+\pi\\x=\frac{\pi}{24}-\frac{\pi}{2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{12}+\frac{12\pi}{12}\\x=\frac{\pi}{24}-\frac{12\pi}{24}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{13\pi}{12}\\x=-\frac{11\pi}{24}\end{cases}\)
Seule la deuxième valeur appartient à \(]-\pi ;\pi]\) donc inutile de prendre des valeurs de k inférieures
pour la première valeur.
Pour k=-2 :
\(x=\frac{\pi}{24}-\frac{2\pi}{2}\)
\(\iff x=\frac{\pi}{24}-\frac{24\pi}{24}\)
\(\iff x=-\frac{23\pi}{24}\)
Cette valeur appartiennent à \(]-\pi ;pi]\).
Pour k=-3 :
\(x=\frac{\pi}{24}-\frac{3\pi}{2}\)
\(\iff x=\frac{\pi}{24}-\frac{36\pi}{24}\)
\(\iff x=-\frac{35\pi}{24}\)
Cette valeur n'appartient à \(]-\pi ;\pi]\) donc inutile de prendre des valeurs de k inférieures.
Question
3. \(2\cos^{2}x-3cosx-2=0\)
Solution
Effectuons le changement de variable \(X=cos(x)\)
\(2X^2-3X-2=0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(\iff \Delta=(-3)^2-4 \times 2 \times (-2)\)
\(\iff \Delta=9+16=25\)
\(\begin{cases}X_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\X_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2 \times 2}\\X_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\times 2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{3-5}{4}\\X_2=\frac{3+5}{4}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{-2}{4}\\X_2=\frac{8}{4}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{-1}{2}\\X_2=2\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases} \cos x_1=\frac{-1}{2}\\ \cos x_2=2\end{cases}\)
donc :
\(\begin{cases} x_1=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi \\pi\\x_1=-(\pi-\frac{\pi}{3})+2k\pi\end{cases}\) \(k\in \mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases} x_1=\frac{3\pi}{3}-\frac{\pi}{3}+2k\pi \\pi\\x_1=-(\frac{3\pi}{3}-\frac{\pi}{3})+2k\pi\end{cases}\) \(k\in \mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases} x_1=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \\pi\\x_1=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in \mathbb{Z}\)
L'équation en x_2 n'admet pas de solution car \(-1\le cos x_2 \le 1\)
