Exercice : Résoudre 8
1. Résoudre les équations suivantes :
Question
a. \(\sin(4x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Solution
\(sin(4x) =\frac{\sqrt{3}}{2}=sin(\frac{\pi}{6}}\)
\(\begin{cases}4x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\4x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}+\frac{2k\pi}{4}\\4x=\frac{6\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}+\frac{2k\pi}{4}\\4x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\)
\(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\\x=\frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont donc :
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\\x=\frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Recherche des solutions dans \(]-\pi ;\pi]\):
Pour k=0:
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{24}\\x=\frac{5\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=1 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}\\x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}+\frac{12\pi}{24}\\x=\frac{5\pi}{24}+\frac{12\pi}{24}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{13\pi}{24}\\x=\frac{17\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=2 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{24}+\frac{2\pi}{2}\\x=\frac{5\pi}{24}+\frac{2\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}+\frac{24\pi}{24}\\x=\frac{5\pi}{24}+\frac{24\pi}{24}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{25\pi}{24}\\x=\frac{29\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs n'appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Inutile de prendre des valeurs de \(k\) supérieures.
Pour k=-1 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{24}-\frac{\pi}{2}\\x=\frac{5\pi}{24}-\frac{\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}-\frac{12\pi}{24}\\x=\frac{5\pi}{24}-\frac{12\pi}{24}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-11\pi}{24}\\x=\frac{-7\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=-2 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{24}-\frac{2\pi}{2}\\x=\frac{5\pi}{24}-\frac{2\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}-\frac{24\pi}{24}\\x=\frac{5\pi}{24}-\frac{24\pi}{24}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-23\pi}{24}\\x=\frac{-19\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=-3 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{24}-\frac{3\pi}{2}\\x=\frac{5\pi}{24}-\frac{3\pi}{2}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{24}-\frac{36\pi}{24}\\x=\frac{5\pi}{24}-\frac{36\pi}{24}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-35\pi}{24}\\x=\frac{-31\pi}{24}\end{cases}\)
Ces deux valeurs n'appartiennent pas à \(]-\pi ;pi]\)
Inutile de prendre des valeurs de \(k\) inférieures.
Question
b. \(4\cos^{2}x+8cosx+4=0\).
On pourra commencer par faire un changement de variable...
Solution
\(4\cos^{2}x+8cosx+4=0\).
\(X=cos x\)
\(\iff 4X^2 + 8X + 4 = 0\)
\(\Delta=b^2-4\times a \times c\)
\(\iff \Delta=8^2-4\times 4 \times 4\)
\(\iff \Delta=64-64=0\)
\(X_0=\frac{-b}{2a}\)
\(\iff X_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2\times 4}\)
\(\iff X_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{8}=-1\)
\(cos x_0=-1\)
Les solutions sur \(\mathh{R}\) sont :
\(x_0=\pi+2k\pi\)
Les solutions sur \(]-\pi ;\pi]\) sont :
\(x_0=\pi\)
Question
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(y^2-\frac{3}{2} y-1=0\).
Solution
\(y^2-\frac{3}{2} y-1=0\).
\(\Delta=b^2-4\times a \times c\)
\(\iff \Delta=(-\frac{3}{2})^2-4\times 1 \times (-1)\)
\(\iff \Delta=\frac{9}{4}+4\)
\(\iff \Delta=\frac{9}{4}+\frac{16}{4}\)
\(\iff \Delta=\frac{25}{4}\)
\(\begin{cases}X_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\X_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\end{cases}\)
\(\begin{cases}X_1=\frac{-(-\frac{3}{2})-\sqrt{\frac{25}{4}}{2\times 1}\\X_2=\frac{-(-\frac{3}{2})+\sqrt{\frac{25}{4}}{2\times 1}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{\frac{3}{2}-\frac{5}{2}}{2}\\X_2=\frac{\frac{3}{2}+\frac{5}{2}}{2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{\frac{-2}{2}}{2}\\X_2=\frac{\frac{8}{2}}{2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{-1}{2}\\X_2=\frac{4}{2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{-1}{2}\\X_2=2\end{cases}\)
Question
b. En déduire les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l'équation \(cos²x-\frac{3}{2}cosx-1=0\)
Solution
\(cos²x-\frac{3}{2}cosx-1=0\)
L'équation \(cos x_2=-2\) n'admet pas de solution car \(cos x\in[-1 ;1]\)
\(cos x_1=\frac{-1}{2}\)
\(\iff cos x_1=cos (\frac{2\pi}{3})\)
\(\begin{cases} x_1=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\x_1=\frac{-2\pi}{3}+2k\pi\end{cases}\)
Les solutions sur \(\mathh{R}\) sont :
\(\begin{cases} x_1=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\x_1=\frac{-2\pi}{3}+2k\pi\end{cases}\)
Les solutions sur \(]-\pi ;\pi]\) sont :
\(\begin{cases} x_1=\frac{2\pi}{3}\\x_2=\frac{-2\pi}{3}\end{cases}\)