Exercice : Résoudre 7
Résoudre les équations suivantes, on fera apparaître les images des solutions sur le cercle trigonométrique :
Question
1. \(sin(3x) =\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Solution
\(sin(3x) =\frac{\sqrt{3}}{2}=sin(\frac{\pi}{6}}\)
\(\begin{cases}3x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\3x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\\3x=\frac{6\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\\3x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\)
\(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\\3x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont donc :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\\x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Recherche des solutions dans \(]-\pi ;\pi]\):
Pour k=0:
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{18}\\x=\frac{5\pi}{18}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=1 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}\\x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{18}+\frac{12\pi}{18}\\x=\frac{5\pi}{18}+\frac{12\pi}{18}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{13\pi}{18}\\x=\frac{17\pi}{18}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=2 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{18}+\frac{4\pi}{3}\\x=\frac{5\pi}{18}+\frac{4\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{18}+\frac{24\pi}{18}\\x=\frac{5\pi}{18}+\frac{24\pi}{18}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{25\pi}{18}\\x=\frac{29\pi}{18}\end{cases}\)
Ces deux valeurs n'appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Inutile de prendre des valeurs de \(k\) supérieures.
Pour k=-1 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{18}-\frac{2\pi}{3}\\x=\frac{5\pi}{18}-\frac{2\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{18}-\frac{12\pi}{18}\\x=\frac{5\pi}{18}-\frac{12\pi}{18}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-11\pi}{18}\\x=\frac{-7\pi}{18}\end{cases}\)
Ces deux valeurs appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Pour k=-2 :
\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{18}-\frac{4\pi}{3}\\x=\frac{5\pi}{18}-\frac{4\pi}{3}\end{cases}\) \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{\pi}{18}-\frac{24\pi}{18}\\x=\frac{5\pi}{18}-\frac{24\pi}{18}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x=\frac{-23\pi}{18}\\x=\frac{-19\pi}{18}\end{cases}\)
Ces deux valeurs n'appartiennent à \(]-\pi ;pi]\)
Inutile de prendre des valeurs de \(k\) inférieures.
Question
\(2. 2sin^2x + 7sinx - 4 = 0\)
On pourra commencer par faire un changement de variable...
Solution
\(2sin^2x + 7sinx - 4 = 0\)
\(X=sin x\)
\(\iff 2X^2 + 7X - 4 = 0\)
\(\Delta=b^2-4\times a \times c\)
\(\iff \Delta=7^2-4\times 2 \times (-4)\)
\(\iff \Delta=49+32=81\)
\(\begin{cases}X_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\X_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{-7-\sqrt{81}}{2 \times 2}\\X_2=\frac{-7+\sqrt{81}}{2 \times 2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{-7-9}{4}\\X_2=\frac{-7+9}{4}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=\frac{-16}{4}\\X_2=\frac{2}{4}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}X_1=-4\\X_2=\frac{1}{2}\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}cos x_1=-4\\cos x_2=\frac{1}{2}\end{cases}\)
L'équation \(cos x_1=-4\) n'admet pas de solution car \(cos x\in[-1 ;1]\)
\(cos x_2=\frac{1}{2}\)
\(\iff cos x_2=cos \frac{\pi}{3}\)
\(\begin{cases} x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\x_2=\frac{-\pi}{3}+2k\pi\end{cases}\)
Les solutions sur \(\mathh{R}\) sont :
\(\begin{cases} x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\x_2=\frac{-\pi}{3}+2k\pi\end{cases}\)
Les solutions sur \(]-\pi ;\pi]\) sont :
\(\begin{cases} x_2=\frac{\pi}{3}\\x_2=\frac{-\pi}{3}\end{cases}\)
