Exercice : Exercice 15

On veut résoudre l'équation \(\sqrt{3} sin ⁡x=cos ⁡x\) dans [0 ;2π[

Question

1. Démontrer que \(sin^2⁡x=\frac{1}{4}\)

Solution

\(cos^2(x)+sin^2(x)=1\)

\(\iff (\sqrt{3} sin ⁡x)^2+sin^2(x)=1\)

\(\iff 3sin^2 ⁡(x)+sin^2(x)=1\)

\(\iff 4sin^2 ⁡(x)=1\)

\(\iff sin^2 ⁡(x)=\frac{1}{4}\)

Question

2. Résoudre l'équation \(sin^2⁡x=\frac{1}{4}\) dans [0 ;2π[

Solution

\(sin^2⁡x=\frac{1}{4}\)

\(\iff sin x=\frac{1}{2}\) ou \(sin x=-\frac{1}{2}\)

\(\iff x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\pi-\frac{\pi}{3}\) ou \(x=-\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\pi-(-\frac{\pi}{3})\)

\(\iff x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=-\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\pi+\frac{\pi}{3})\)

\(\iff x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=-\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{4\pi}{3})\)

\(\iff \begin{cases}x=-\frac{\pi}{3}\\x=\frac{\pi}{3}\\  x=\frac{2\pi}{3}\\x=\frac{4\pi}{3}\end{cases}\)

Question

3.Expliquer pourquoi \(cos x\) et \(sin x\) doivent avoir le même signe.

Solution

  • Si \(sin x \ge 0\) alors \(\sqrt{3} sin ⁡x \ge 0\) donc \(cos ⁡x \ge 0\)

  • Si \(sin x \le 0\) alors \(\sqrt{3} sin ⁡x \le 0\) donc \(cos ⁡x \le 0\)

  • Si \(cos x \ge 0\) alors \(\frac{cos x}{sqrt{3}} =sin ⁡x \ge 0\)

  • Si \(cos x \le 0\) alors \(\frac{cos x}{sqrt{3}} =sin ⁡x \le 0\)

Question

4. En déduire les solutions de l'équation de départ.

Solution

Parmi les solutions de la 2ème question :

\(\begin{cases}x=-\frac{\pi}{3}\\x=\frac{\pi}{3}\\  x=\frac{2\pi}{3}\\\\x=\frac{4\pi}{3}\end{cases}\)

on ne retient que :

\(\begin{cases}x=\frac{\pi}{3}\\x=\frac{4\pi}{3}\end{cases}\)