Chapitre X Produit scalaire

\(\vec{AB}.\vec{AC}=\|\vec{AB}\|\times\|\vec{AC}\|\times cos(\vec{AB},\vec{AC})=4 \times 4 \times cos(\frac{\pi}{3})=16 \times \frac{1}{2}=8\)

\(\vec{BG}.\vec{BC}=\|\vec{BG}\|\times\|\vec{BC}\|\times cos(\vec{BG},\vec{BC})=\vec{BA'}.\vec{BC}=BA' \times BC=2 \times 4=8\) en effet \(BA'=\|\vec{BG}\| \times cos(\vec{BG},\vec{BC})\)

\(\vec{GB}.\vec{GA}\)=\(\vec{GA'}.\vec{GA}=\frac{1}{3}\vec{AA'}\times (\frac{-2}{3}\vec{AA'})=\frac{-2}{9}\|\vec{AA'}\|=\frac{-2}{9}\|\vec{AA'}\|\)

En effet :

\(\color{red}{\textbf{Propriété admise: Les médianes d'un triangle se coupent en un point situé aux} \frac{2}{3} }\)

\(\color{red}{\textbf{de leurs longueurs en partant du sommet dont elles sont issues.}}\)

\(\color{red}{\textbf{Propriété démontrée: La longueur des médianes d'un triangle équilatéral de côtés a est }} \frac{\sqrt{3}a}{2}\)

en effet Dans le cas général pour un triangle équilatéral de longueur de côté : \(a\) , j'utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ACA' rectangle en A' :

\(AA'^2+A'C^2=AC^2\)

donc \(AA'^2=AC^2-A'C^2\)

\(AA'^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{4a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\)

\(AA'^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{4a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\)

\(AA'=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

donc ici \(AA'=\frac{\sqrt{3}\times 4}{2}=2\sqrt{3}\) c'est également la longueur des deux autres médianes.

d'où finalement \(\vec{GB}.\vec{GA}=\frac{-2}{9}\|\vec{AA'}\|=\frac{-2}{9} \times (2\sqrt{3})^2=\frac{-2}{9} \times (2\sqrt{3})^2=\frac{-2}{9} \times (4 \times 3)=\frac{-8}{3}\)

\(\vec{AC}.\vec{BA'} =\vec{A'C}.\vec{BA'}=2\times 2=4\)

\(\vec{AC}\vec{AD}=\vec{AB}\vec{AD}=2\sqrt{6}\)

\(\vec{GA}.\vec{GB'}\)

\(=\vec{GB'}.\vec{GB'}\)

\(=\|\vec{GB'}\|^2\)

\(=(\frac{1}{3} \times BB')^2\)

\(=(\frac{1}{3}(2\sqrt{3}))^2\)

\(=\frac{1}{9} \times (4 \times 3)=\frac{4}{3}\)