Exercice : Exercice 25 :
Etablir la relation suivante :
Question
\(cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{1}{4}(\sqrt{2}+2)\)
Solution
\(cos(2a)=2cos^2(a)-1\)
pour \(a=\frac{\pi}{8}\)
\(cos(2 \times \frac{\pi}{8})=2cos^2(\frac{\pi}{8})-1\)
\(cos(\frac{\pi}{4})=2cos^2(\frac{\pi}{8})-1\)
\(cos(\frac{\pi}{4})+1=2cos^2(\frac{\pi}{8})\)
\(2cos^2(\frac{\pi}{8})=cos(\frac{\pi}{4})+1\)
\(2cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\)
\(cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}\)
\(cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{1}{4}(\sqrt{2}+2)\)
Question
2.En déduire la valeur de \(cos(\frac{\pi}{8})\)
Solution
\(cos(\frac{\pi}{8})=\sqrt{\frac{1}{4}(\sqrt{2}+2)}\)
\(cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}\)
on ne peut pas avoir : \(cos(\frac{\pi}{8})=-\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}\)
car le cosinus de \(\frac{\pi}{8}\in[0 ;\frac{\pi}{2}]\) doit être positif (d'après la position de l'angle sur le cercle trigonométrique).
Question
3.Etablir la relation :
\(sin( \frac{\pi}{8})=\frac{1}{2}(\sqrt{2-\sqrt{2}})\)
Solution
\(cos^2(\frac{\pi}{8})+sin^2(\frac{\pi}{8})=1\)
donc \(sin^2(\frac{\pi}{8})=1-cos^2(\frac{\pi}{8})\)
\(sin^2(\frac{\pi}{8})=1-\frac{1}{4}(\sqrt{2}+2)\)
\(sin^2(\frac{\pi}{8})=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}(\sqrt{2}+2)\)
\(sin^2(\frac{\pi}{8})=\frac{2}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}\)
\(sin^2(\frac{\pi}{8})=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)
\(sin(\frac{\pi}{8})=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}\)
\(sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
car le sinus de \(\frac{\pi}{8}\in[0 ;\frac{\pi}{2}]\) doit être positif (d'après la position de l'angle sur le cercle trigonométrique).