Exercice : Exercice 16 :
Le plan est muni d'un repère orthonormé et \(m\) un réel.
Soit \(\vec{u}=\begin{pmatrix}16\\m-6\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}=\begin{pmatrix}m\\m+6\end{pmatrix}\)
Question
1. Déterminer les deux valeurs de m pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux.
Solution
\(\vec{u}.\vec{v}=16 \times m + (m-6)\times (m+6)=16m+m^2-36=m^2+16m-36\)
or dans le cas où \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux on a \(\vec{u}.\vec{v}=0\)
donc pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux, il faut que \(m^2+16m-36=0\)
\(\Delta=b^2-4ac=16^2-4\times1\times(-36)=256+144=400\)
\(m_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(m_1=\frac{-16-\sqrt{400}}{2}=\frac{-16-20}{2}=\frac{-36}{2}=-18\)
\(m_2=\frac{-16+\sqrt{400}}{2} =\frac{-16+20}{2}=\frac{4}{2}=2\)
Les deux vecteurs sont donc orthogonaux pour m=-18 et m=2
Question
2. Calculer les coordonnées des deux vecteurs pour chacune de ces deux valeurs de m.
Faire un dessin dans ces deux cas. Vérifier géométriquement la propriété d'orthogonalité.
Solution
\(\color{magenta}{1er cas m=-18 : Les vecteurs \vec{u}=\begin{pmatrix}16\\-24\end{pmatrix} et \quad \vec{v}=\begin{pmatrix}-18\\-12\end{pmatrix}}\)
\(\color{magenta}{2ème cas m=2 : Les vecteurs \vec{u}=\begin{pmatrix}16\\-4\end{pmatrix} et \quad \vec{v}=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}}\)
