Exercice : Exercice 7 :
ABC est un triangle (A, B , C sont trois points distincts) tel que AB = 2, AC = 3 et \(\vec{AB}. \vec{AC}= 4\).
Question
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
Solution
\(\vec{BA}. \vec{BC}=\vec{BA}. (\vec{BA}+\vec{AC})=\vec{BA}. \vec{BA}+\vec{BA} .\vec{AC}\)
\(\vec{BA}. \vec{BC}=\||\vec{BA}\||^2+(-\vec{AB} ).\vec{AC} \)car \(\vec{BA}=-\vec{AB}\)
\(\vec{BA}. \vec{BC}=2^2-4=4-4=0\)
Comme les vecteurs \(\vec{BC}\) et \(\vec{BA}\) ne sont pas des vecteurs nuls.
On en déduit que les vecteurs \(\vec{BC}\) et \(\vec{BA}\) sont orthogonaux.
Question
2.Calculer \(\vec{CA}. \vec{CB}\). puis une mesure des angles \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{CAB}\) en degrés, à 0,1 près.
Solution
\(\vec{CA}. \vec{CB}= ( -\vec{AC})(\vec{CA}+ \vec{AB})=(-\vec{AC}).\vec{CA}-\vec{AC}.\vec{AB}\)
\(\vec{CA}. \vec{CB}= ( -\vec{AC})(\vec{CA}+ \vec{AB})=(-\vec{AC}).(-\vec{AC})-\vec{AC}.\vec{AB}\)
\(\vec{CA}. \vec{CB}= ||\vec{AC}||^2-4=9-4=5\)
or \(\vec{CA}. \vec{CB}=||\vec{CA}||. ||\vec{CB}||. cos((\vec{CA},\vec{CB}))\)
\(\vec{CA}. \vec{CB}=3. ||\vec{CB}||. cos((\vec{CA},\vec{CB}))\)
Déterminons \(||\vec{CB}||=CB\) grâce au théotème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B :
\(AB^2+BC^2=AC^2\)
\(2^2+BC^2=3^2\)
\(4+BC^2=9\)
\(BC^2=5\)
donc \(BC=\sqrt{5}\)
\(\vec{CA}. \vec{CB}=3. \sqrt{5}. cos((\vec{CA},\vec{CB}))=5\)
donc
\(cos(\vec{CA},\vec{CB})=\frac{5}{3. \sqrt{5}}\)
\(cos(\vec{CA},\vec{CB})=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\((\vec{CA},\vec{CB})=Arccos(\frac{\sqrt{5}}{3})\simeq41,8°\)
donc \(\widehat{ACB}\simeq41,8°\)
La somme des mesures des trois angles d'un triangle vaut 180° donc dans le triangle ABC rectangle en B
\(\widehat{CAB}+\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=180°\)
\(\widehat{CAB}+41,8+90\simeq180°\)
\(donc \widehat{CAB}\simeq90-41,8\simeq48,2°\)