Chapitre X Produit scalaire

\((\vec{ID}+\vec{DA}).(\vec{IC}+\vec{CB})=\vec{ID}.\vec{IC}+\vec{ID}.\vec{CB}+\vec{DA}.\vec{IC}+\vec{DA}.\vec{CB}\)

\(\vec{ID}.\vec{CB}=0\) car les vecteurs \(\vec{ID}\) et \(\vec{CB}\) sont orthogonaux

\(\vec{DA}.\vec{IC}=0\) car les vecteurs \(\vec{DA}\) et \(\vec{IC}\) sont orthogonaux

donc

\((\vec{ID}+\vec{DA}).(\vec{IC}+\vec{CB})=\vec{ID}.\vec{IC}+\vec{DA}.\vec{CB}\)

or \(\vec{DA}=\vec{CB}\)

d'où

\((\vec{ID}+\vec{DA}).(\vec{IC}+\vec{CB})=\vec{ID}.\vec{IC}+\vec{DA}.\vec{DA}\)

\((\vec{ID}+\vec{DA}).(\vec{IC}+\vec{CB})=\vec{ID}.\vec{IC}+\vec{DA}^2\)

\((\vec{ID}+\vec{DA}).(\vec{IC}+\vec{CB})=\vec{ID}.\vec{IC}+DA^2\)

\((\vec{ID}+\vec{DA}).(\vec{IC}+\vec{CB})=\vec{IA}.\vec{IB}\) par le théorème de Chasles

donc \(\vec{IA}.\vec{IB}=\vec{ID}.\vec{IC}+DA^2\)

or \(\vec{IA}.\vec{IB}=IA \times IB \times cos((\vec{IA},\vec{IB})=IA \times IB \times cos(\widehat{AIB})\)

Dans le triangle AID rectangle en D , d'après le théorème de Pythagore:

\(AI^2=AD^2+DI^2\)

\(AI^2=3^2+1^2=9+1=10\)

\(AI=\sqrt{10}\)

Dans le triangle ICB rectangle en C , d'après le théorème de Pythagore:

\(IB^2=IC^2+CB^2\)

\(IB^2=(4-1)^2+3^2=9+9=18\)

\(IB=\sqrt{18}\)

\(\vec{IA}.\vec{IB}=IA \times IB \times cos(\widehat{AIB})\)

\(\vec{IA}.\vec{IB}=\sqrt{10} \times \sqrt{18} \times cos(\widehat{AIB})\)

d'après ce qu'on a déjà écrit :\(\vec{IA}.\vec{IB}=\vec{ID}.\vec{IC}+DA^2\)

Calculons \(\vec{ID}.\vec{IC}+DA^2=ID \times IC \times cos(\pi)+3^2=1 \times 3 \times (-1)+9=-3+9=6\)

donc \(\sqrt{10} \times \sqrt{18} \times cos(\widehat{AIB})=6\)

\(cos(\widehat{AIB})=\frac{6}{\sqrt{10} \times \sqrt{18}}\)

\(cos(\widehat{AIB})=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{10} \times \sqrt{18}}\)

\(cos(\widehat{AIB})=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{180}}\)

\(cos(\widehat{AIB})=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\widehat{AIB}=Arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})\)

On en déduit que \(\widehat{AIB}\simeq63,43°\)