Chapitre X Produit scalaire

D'après la formule déjà vue :

\(\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2)\)

\(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\) donc \(\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2\)

\(\vec{v}=(x',y')\) donc \(\|\vec{v}\|^2=x'^2+y'^2\)

\(\vec{u}+\vec{v}=(x+x',y+y')\)

\(donc \|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{(x+x')^2+(y+y')^2}\)

et \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=(x+x')^2+(y+y')^2\)

on remplace dans l'expression du produit scalaire :

\(\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}((x+x')^2+(y+y')^2-(x^2+y^2)-(x'^2+y'^2))\)

\(\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(x^2+2 \times x\times x' +x'^2+y^2+2 \times y \times y' +y'^2-x^2-y^2-x'^2-y'^2))\)

finalement

\(\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'\)