Exercice : Exercice 41 :
On se place dans un repère orthonormé \((O ;\vec{i} ,\vec{j})\).
Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle :
Question
\(x^2 + y^2 – 2x – 6y + 5 = 0\)
Solution
\(x^2 + y^2 – 2x – 6y + 5 = 0\)
\(\iff (x-1)^2 + (y-3)^2 -1-9+ 5 = 0\)
\(\iff (x-1)^2 + (y-3)^2 -10+ 5 = 0\)
\(\iff (x-1)^2 + (y-3)^2 -5= 0\)
\(\iff (x-1)^2 + (y-3)^2 =5\)
\(\iff \OmegaM^2=5\)
où \(\Omega\) est le centre du cercle de coordonnées (1 ;3)
et le rayon est \(R=\sqrt{5}\)
Question
2. \(x^2 + y^2 – x – 3y + 3 = 0\)
Solution
\(x^2 + y^2 – x – 3y + 3 = 0\)
\(\iff (x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{3}{2})^2 – \frac{1}{4}– \frac{9}{4}+ 3 = 0\)
\(\iff (x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{3}{2})^2 – \frac{10}{4}+ 3 = 0\)
\(\iff (x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{3}{2})^2 – \frac{10}{4}+ \frac{12}{4}= 0\)
\(\iff (x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{3}{2})^2+\frac{2}{4}= 0\)
\(\iff (x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{3}{2})^2=-\frac{2}{4}\)
\(\iff (x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{3}{2})^2=-\frac{1}{2}\)
\(\iff \OmegaM^2=-\frac{1}{2}\)
où \(\Omega\) est le point de coordonnées \((\frac{1}{2} ;\frac{3}{2})\)
donc l'ensemble des points M est l'ensemble vide
car le carré d'un nombre réel est forcément positif.